"Gerçekten Bilmeniz gereken 50 Matematik Fikri"

Sıfırı kim keşfetti? Neden dakikada 60 saniye var? Sonsuz ne kadar büyük? Birbirine paralel çizgiler nerede kesişirler? Ve bir kelebeğin kanat çırpışı gerçekten de dünyanın diğer ucunda fırtınaya sebep olabilir mi? Artık okuldayken matematikte ne kadar kötü olduğunuzdan matah bir şeymiş gibi bahsetmekten sıkıldıysanız, Gerçekten Bilmeniz Gereken 50 Matematik Fikri büyüleyici bir evrene giriş için harika bir fırsat. Profesör Tony Crilly, Roma rakamlarından Fermat teoremine; Oyun kuramından sihirli karelere uzanıyor; sudoku, şifre kırma,piyango ya da birleşik faiz hesabının arkasındaki temel mantığı anlatıyor; kalkülüs, istatistik ve cebirin olur da istersek gerçek hayatta nasıl işimize yarayabildiğini ortaya koyuyor. Matematik bundan daha keyifli olmamıştı... 

Gerçekten Bilmeniz gereken 50 Matematik Fikri 
Tony Crilly-DOMİNGO YAYINEVİ çev. Cem DURAN

"100 Yılın Matematik Olimpiyat Soruları Geometri"

Ulusal ve Uluslararası Matematik Olimpiyat Sınavlarına Hazırlananlar İçin 1800'lü yıllarda Avusturya-Macaristan İmparatorluğu'nda yapıldığı bilinen Matematik Olimpiyatları, özellikle II. Dünya Savaşı'nın ardından yaygınlaşarak, bugünkü olimpiyat kültürünü oluşturmuştur. Ülkemizde de Tübitak-Bilim Adamı Yetiştirme Grubunca her yıl Matematik, Fizik, Kimya, Biyoloji ve Bilgisayar dallarında ULUSAL BİLİM OLİMPİYATLARI yapılmaktadır. Geçmişten günümüze geometri mirasını incelediğimizde; olimpiyatlarda sorulan bazı problemlerin, bir süre sonra farklı ülkelerde de sorulabildiğini görmekteyiz. "Bu soruların ülkemizde de yayımlanması gerekir." düşüncesiyle bu kitabı hazırlamaya karar verdik. "Olimpiyat soruları çok zordur; çözemeyiz.'' şeklindeki ön yargıların olması ise yadsınamaz bir gerçektir. Hâlbuki bu sorular ilköğretim ve ortaöğretim müfredatında yer alan geometri konularıyla yakından ilişkilidir. Bu bağlamda, olimpiyat sorularıyla ilköğretim ve ortaöğretimde işlenen konular arasında köprü vazifesi görecek bir çalışmaya ihtiyaç olduğu görülmüştür. Bu çalışmayı yaparken, eklemeli bir bilim olan geometriye ait konuları, birbirini tamamlayan yapboz parçaları şeklinde sunmalıyız ki bu konular daha anlaşılır ve daha zevkli bir hale gelsin. İşte bu düşüncelerle, kendine özgü bir konu sıralamasıyla, üçgenin iç açılar toplamı 180° den başlayarak; Menelaus Teoremi, Euler Doğrusu, Dokuz Nokta Çemberi, Ptolemy Teoremi, Van Aubel Teoremi gibi konuları da içeren bir geometri serüveni hazırladık. Bu serüvende konu anlatımını 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARI' yla süsledik. 

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARI

Şekilli Matematik Sözlüğü-Tori Large

Matematik terimleri hakkında genel bir bilgi akışı sağlayan, özellikle ilköğretim ve başlangıç kısmı olarak ortaöğretim öğrencileri için çok daha fazla yararı olabileceğini söyleyeceğim bu kitapta, matematiksel manada doyurucu bilgilere ulaşabileceğinizi düşünüyorum. Konuları öğrenmeden önce bu tür bir kitapla kavram haritası oluşturmak terimlerin içeriği hakkında bir ön bilgi oluşturmanıza katkı sağlayacaktır.

TÜBİTAK YAYINLARI çev. Bahtiyar KURT

Matematikle ilgilenen ve matematiği seven herkesin kütüphanesinde bulunması gereken bir kitap. •Temel matematik terimleri ve kavramlarına ait 500’ün üzerinde tanım •300’ün üzerinde şekil ve diyagram •100’den fazla çözümlü örnek •Her sayfada, kullanılan terimler için çapraz başvurular ve ayrıntılı dizin.

Matematik ‘yaramaz’dır!

Matematik ne işe yarar?" Bu kitabın yazarının en çok sinirlendiği soru bu. Ama matematik öğretmeni olarak en fazla karşılaştığı soru da, aynı zamanda. Peki kusur, yüzlerce formülle karşı karşıya kalıp bunalan öğrenci de mi? Matematik bilgisinin ve yönteminin kendisine açacağı ufukları kavrayamayan (ya da yaşayamayan) öğrencilerin, ister istemez bu formüller yığınının gelecekte ne işlerine yarayacağını sorgulaması doğal değil mi? O halde bütün "mesele", matematiğin nasıl öğretileceği, sevdirileceği ve nasıl korkulur olmaktan çıkarılacağında... 

Ahmet Doğan, bu "meseleyi", 40 yıllık öğretmenlik yaşamı boyunca kendisine dert edenlerden. Bu kitabı üretmesinin nedeni de bu: Matematiği "öcü" olmaktan çıkarmak. Akıl yürütmenin güzelliği, estetiği, keyfi ile öğrencileri tanıştırmak.Bu nedenle, matematik öğretimi alanındaki deneyimlerini örneklerle bezeyerek sayfalara aktardığı bu kitabının başlığında da, en sık maruz kaldığı soruya yanıt veriyor. Her iki anlamıyla da:"Matematik ‘yaramaz’dır!" 

Matematik ‘yaramaz’dır! Ahmet Doğan BİLİM VE GELECEK KİTAPLIĞI

Ders Anlatım Föyü-Eşkenar Üçgen

"Özel Üçgenler-Eşkenar Üçgen" konusu örnek ders anlatım föyü çeşitli ders kitaplarından yararlanılarak hazırlanmış olup, azami iki ders saati içersinde bitirilecek şekilde uygulanmalıdır.Öğretmenlere ders anlatımında yararlı olması amacıyla kullanıma sunulmuştur. Başka bir amaç için kullanılamaz.PDF formatında olduğu için akıllı tahtaya uyumludur. PDF okuyucunun olduğu her ortamda tablette, mobil cihazlarda çalışabilmektedir.   

Ders Anlatım Föyü-İkizkenar Üçgen

"Özel Üçgenler-İkizkenar Üçgen" konusu örnek ders anlatım föyü çeşitli ders kitaplarından yararlanılarak hazırlanmış olup, azami iki ders saati içersinde bitirilecek şekilde uygulanmalıdır.Öğretmenlere ders anlatımında yararlı olması amacıyla kullanıma sunulmuştur. Başka bir amaç için kullanılamaz.PDF formatında olduğu için akıllı tahtaya uyumludur. PDF okuyucunun olduğu her ortamda tablette, mobil cihazlarda çalışabilmektedir.   

Ders Anlatım Föyleri-Dik Üçgen

"Özel Üçgenler-Dik Üçgen" konusu örnek ders anlatım föyü çeşitli ders kitaplarından yararlanılarak hazırlanmış olup, azami iki ders saati içersinde bitirilecek şekilde uygulanmalıdır.Öğretmenlere ders anlatımında yararlı olması amacıyla kullanıma sunulmuştur. Başka bir amaç için kullanılamaz.PDF formatında olduğu için akıllı tahtaya uyumludur. PDF okuyucunun olduğu her ortamda tablette, mobil cihazlarda çalışabilmektedir. 

Ders Anlatım Föyleri-Üçgende Kenarortay

"Üçgende kenarortay" konusu örnek ders anlatım föyü çeşitli ders kitaplarından yararlanılarak hazırlanmış olup, azami iki ders saati içersinde bitirilecek şekilde uygulanmalıdır.Öğretmenlere ders anlatımında yararlı olması amacıyla kullanıma sunulmuştur. Başka bir amaç için kullanılamaz.PDF formatında olduğu için akıllı tahtaya uyumludur. PDF okuyucunun olduğu her ortamda tablette, mobil cihazlarda çalışabilmektedir. Kenarortay ders anlatım föyünü indirmek için tıklayınız...

Erken Yaşta Müzik Eğitimi ve Matematik-Fen Dersleri

"İzmir Üniversitesi Çocuk Gelişimi Bölümü Öğretim Üyesi Yrd. Doç. Dr. Elif Öztürk Yılmaztekin, müziğin çocuk gelişimi üzerinde büyük olumlu etkiye sahip olduğunu, enstrüman çalan çocukların matematik ve fen kavramlarını öğrenmeye daha hazır olduğunu söyledi.
İzmir Üniversitesi Çocuk Gelişimi Bölümü Öğretim Üyesi Yrd. Doç. Dr. Elif Öztürk Yılmaztekin, müziğin, çocuğun tüm zihinsel, sosyal, duygusal, fiziksel ve psikolojik gelişim alanlarını destekleyen bir sanat dalı olduğunu söyledi. Yapılan bazı çalışmaların, bu gelişimi ortaya koyduğunu dile getiren Öztürk, sözlerini şöyle sürdürdü:
“Araştırmalar sonucu, piyano çalan çocukların matematik ve fen kavramlarını öğrenmeye daha hazır oldukları ortaya çıkmıştır. Nedeni ise, zihinsel imgelemeyi desteklemesi ve notaları kullanarak ortaya müziğin çıkarılmasında ortak becerilerin kullanılmasıdır. Diğer bir çalışmada ise, çocukların 9 haftalık piyano veya keman eğitiminden sonra bu eğitimi almayan çocuklara oranla IQ puanlarında yaklaşık 3 puan artış olduğu tespit edilmiştir.”
Küçük yaşlardaki çocuklar için şarkı esnasında ritim tutma ve olduğu yerde sallanmaya başlama, zıplamanın, çocuğun odaklandığı ve dinlediği müziği anlamaya başladığının göstergesi olduğunu ifade eden Yılmaztekin, daha büyük yaşlardaki çocuklar için, müziği dinlemenin, dinlediği müziği hatırlamanın, müzikte geçen konuyu anlama ve neden-sonuç ilişkisi kurmanın çocuğun zihinsel gelişimine olumlu katkıda bulunduğunu söyledi.
İÇ DÜNYASINI KEŞFEDEN ÇOCUK PAYLAŞIMCI OLUYOR
Müziğin çocukların dil kazanımı, dinleme becerileri, hafıza ve motor becerilerini desteklediğini belirten Doç. Dr. Yılmaztekin, “Müzik dinlemek çocuğun gelişimini dolaylı olarak desteklerken çocuğun bir müzik enstrümanı çalması çocuğun yaşayarak deneyim sahibi olmasına yardımcı olur” açıklamasında bulundu. Çocukları erken yaşlarda müzik enstrümanı çalmaya/kullanmaya yönlendirmenin, onların gelecekteki akademik başarılarına olumlu katkılar sağlayacağını vurgulayan Yılmaztekin, “Müzik enstrümanının, çocuğun duygusal bir bağ kurduğu ve enstrümanı çalma becerilerini geliştirirken başarma duygusunu hissederek ileriki yaşamında daha başarılı olması için yeni kapılar açtığı görülmektedir. Notaları öğrenen ve bunu bir müzik enstrümanı üzerinde deneyen çocuk, sesleri keşfederek iç dünyasını çevresindekilerle paylaşma eğilimindedir” dedi. Kaynak:http://www.egehaber.com/erken-yasta-muzik-egitimi--matematik-ve-fen-derslerine-destek-oluyor-20728.html

Benzer bir haber; gazeteci yazar Ayşegül Parlayan tarafından 14.10.2007 tarihinde Vatan gazetesinde de yayınlanmış ve matematikle müzik arasında güçlü bir bağ olduğu gazetede röportaj eşliğinde yer almıştı.Haber metni ve röportajı aşağıdan okuyabilirsiniz.
Mus2okur, bir Türk Müziği Multimedia Ansiklopedisi... 1000 eserin yer aldığı bu bilgisayar programı bir müzisyenin değil, bir matematik profesörü Kemal Karaosmanoğlu´nun eseri.Şimdi Yıldız Teknik Üniversitesi´nde müzik teknolojisi dersleri veren Karaosmanoğlu´na göre, bu program geleneksel meşk usulü denilen "hoca-öğrenci" ikilisinin yerine "bilgisayar-öğrenci" ikilisini koyuyor.
Sizce müzik usta-çırak ilişkisi içinde gönülden mi öğrenilir, yoksa notayla matematiksel yöntemlerle mi? Yüksek matematik profesörü 55 yaşındaki Kemal Karaosmanoğlu ikincisine inananlardan. Bunu ispatlamak için de "Mus2okur" adını verdiği özel bir yazılım gerçekleştirmiş. Bu yazılım sayesinde çok karmaşık yapıya sahip olan Türk müziğine, müzikle ilgisi olmayanlar bile bir yatkınlık kazanıyor...
- Eğitiminiz matematik üstüne, müziğe ilginiz nasıl başladı?
Matematik yüksek mühendisiyim, yüksek lisansımı da sistem analizi üstüne yaptım. Müzisyen değilim ama ilkokul çağlarımdan beri Türk müziğine ilgi duydum. Genellikle hem yazılımcılar, hem de müzik teorisyencileri matematikçidir. Müzikle matematiğin çok benzediğini düşünürüm. Şimdi Yıldız Teknik Üniversitesi´nde yarı zamanlı öğretim görevlisiyim. Müzik aritmetiği, müzik fiziği, müzik teknolojisi konulu dersler veriyorum. Ud çalıyorum. "Türk müziği hesaba kitaba gelmez, parmağın kendiliğinden oraya gider" diyen anlayışa karşı, "Hayır ben bir ustanın ney taksimini analiz edebilirim. Bu sesi gönülden çıkarmış olabilir ama ben o sesi ölçebilirim. Sonradan onu sentezleyerek benzerini de bilgisayarda dijital seslerle üretebilirim" diyorum.
- Peki, Mus2okur fikri nasıl ortaya çıktı?
Müzik matematik ilişkisi üstüne düşünürken, özellikle Türk müziği notalarını yazmaya elverişli program olmayışı dikkatimi çekti. Yurtdışında Batı müziği notası yazmak isteyen biri en az 10 seçenek bulabilir. Batı müziği ile Türk müziği bambaşka olduğundan bizdeki müzisyenler bunu kullanamıyor. 10 sene önce bu açığı fark edince önce programın tasarısını kafamda yaptım. Daha sonra amatör bir şekilde yaptığımı internet sitemizden duyurunca talep oluştu. Data-Soft Limited, kültürel hizmet olsun diye profesyonel bir ekiple yazılım yapma kararı verdi.
- Türk Müziği Multimedia Ansiklopedisi "Mus2okur" ne işe yarıyor?
1000 dolayında Türk müziği şarkısı, türkünün notalarını ve güftelerini görerek, dilediğiniz çalgıyla, dilediğiniz tempoda ve akortta seslendirmenize olanak sağlıyor. Ayrıca müziklere sesinizle ya da çalgınızla eşlik de edebiliyorsunuz. Eserleri seçtiğiniz makamda dinleme şansınız da var. Ansiklopedi bölümünden Türk müziği ile ilgili kavramlara da ulaşabiliyorsunuz. Fakat nota yazılamıyor, bu yüzden ismini Mus2okur koyduk. Sadece olanı okuyabiliyor.
- Bu program müzikle sadece profesyonel olarak ilgilenenlere mi yönelik?
Hayır, biz hem profesyonelleri, hem de amatörleri hedefledik. Türk müziğinden zevk alan, evinde işyerinde mırıldanan, müzikle uzak ilgili olan kişilere yönelik; Türk müziği konusunda ilk acemiliği atacak kadar bilgi bu programda mevcut. Biraz daha ileri giderek, amatör biri "karaoke" gibi sesiyle parçaya eşlik de edebilir. Enstrümana meraklıysa, ekranda notaları görerek ilk başta tempoyu yavaş tutarak, daha sonra ise asıl temposuna ayarlayarak çalabilir.
- Müzikle matematik benziyor mu diyorsunuz?
Evet, bu aslında yüzyıllar öncesine dayanan bir tartışma. Dünyayı sayıların yönettiğine inanan Pisagor, müziğin de sayılardan oluştuğunu savunuyor. Aynı dönemde yaşayan ve sadece müzikle uğraşan Aristoksen müzikte sayıların yeri olmadığını, kulağın daha büyük önem taşıdığını söylüyor. Bazı müzisyenlerimizde muğlak bir hava vardır. "İçinden öyle gelir, öyle çalarsın", "Parmağın kendiliğinden oraya gider" gibi pek bilimsel kriterle açıklanmayacak yaklaşıma sahiptirler. Oysaki doğadaki her şeyin matematikle bir ifadesi vardır. "Evet, senin parmağın orayı istiyor ama onun da nereye bastığını ben ölçebilirim."
Elif Öztürk Yılmaztekin-Kemal Karaosmanoğlu
Kaynak sitesi: www.musiki.org

Noktanın Doğruya Uzaklığı

Bir noktanın doğruya olan en kısa uzaklığı dik olan uzaklıktır. Bu uzaklık da aşağıda gösterildiği şekilde noktanın doğruya uzaklık formülü yardımıyla bulunur.
 

Birbirine paralel olan doğruların arasındaki uzaklık hesabı yapılırken noktanın doğruya uzaklık formülünden yararlanılır. Buradaki formülde paralel doğrular için eğimler eşit olduğundan doğruların arasındaki uzaklık hesabında noktanın doğruya uzaklığı formülünde sabit sayı diğer denklemde yerine yazılarak iki  paralel doğrunun arasındaki en kısa uzaklık hesaplanmış olur.

Bir Doğru Parçasını İçten/Dıştan Bölen Noktanın Koordinatları

Bir doğru parçasını belli bir oranda içten veya dıştan noktanın koordinatları bulunurken o noktalar arasındaki artış miktarından yola çıkarak verilen orana göre, istenen noktanın koordinatları bulunur.

Noktanın bir doğru parçasını içten veya dıştan bölecek şekilde olması aynı kurala dayanır. İki durumda da benzerlik teoreminden yararlanılarak oluşacak üçgenler arasındaki thales bağıntılarından yola çıkılarak ispat yapılır. Burada elde edilen formülün kullanılması zorunlu olmadığı gibi bazı durumlarda kat hesabı yapmaktan daha zor kullanıma sahip olacaktır. En iyi metot verilen orana göre katları yazdıktan sonra koordinatlar arasındaki farklardan yola çıkarak istenen koordinatın bulunması olacaktır.

Formülü kullanmaktan ziyade aşağıda belirtildiği şekilde 2.yolu kullanmak, çok daha kullanışlı ve güzel bir yöntem olacaktır.

İçten bölen nokta tam olarak doğru parçasını iki eşit parçaya ayırırsa o zaman bu nokta orta nokta olmuş olur ki bunun koordinatlarını bulmak daha kolay hale gelir. Sınır koordinatlarının toplamının yarısı orta noktanın koordinatlarını verir.
Paralelkenar dikdörtgen ve kare gibi şekillerin köşe koordinatları bulunurken de aynı mantıkla hareket edilir. Bu dörtgenlerin köşegenlerinin kesim noktası orta nokta olduğundan yukarıdaki örnekten yararlanarak; orta noktanın koordinatlarının bulunmasından hareketle, paralelkenar ve dikdörtgenlerin de köşe koordinatları bulunabilir. 

Aşağıdaki örnekleri kendiniz çözerek konuyu daha iyi pekiştirebilirsiniz. Cevapları yanlarında verilmiştir. (Doğru parçasının belli bir oranda bölen noktanın koordinatları)
Aşağıdaki örnekleri kendiniz çözerek konuyu daha iyi pekiştirebilirsiniz. Cevapları yanlarında verilmiştir. (Dörtgenlerin köşe noktalarının koordinatlarının bulunması)



İki Nokta Arası Uzaklık ve İspatı

Analitik düzlemde iki nokta arasıuzaklık hesaplaması yapılırken iki noktanıneksenlerde belirlediği  yerlerin arasındaki değişim miktarı dikkate alınır ve buna göre pisagor teoreminden uzaklık bulunur. Yani iki farklı noktanın ordinat bileşenleri farkının karesi ile apsis bileşenlerinin farkının karesi alınıp toplandıktan sonra pisagor teoremi gereği karekökü alınarak iki nokta arasındaki uzaklık bulunumuş olur.

Yetiştirme ve Destekleme Kursu Planları

MEB bünyesinde açılan yetiştirme ve destekleme kursları için 2014-2015 eğitim öğretim yılından itibaren geçerli olacak olan yönergede belirtilen esaslar çerçevesince açılan kurslarda da planlama  esastır. Bu nedenle haftasonu veya hafta içinde açılacak olan yetiştirme ve destekleme kurslarında plan yapmak ve kullanmak yasal bir gerekliliktir. Daha önceleri öğretmenlerimiz tarafından ayrı ayrı hazırlanan planlar artık MEB tarafından örnek olarak hazırlanmış ve öğretmenlerimizin istifadesine sunulmuştur.
http://odsgm.meb.gov.tr/kurslar/  adresinden MEB tarafından hazırlanmış  en güncel ünitelendirilmiş yıllık planlara ulaşabilirsiniz.Ayrıca bu adreste kazanım testleri ve diğer kurs dokümanlarını da bulabilirsiniz.
Matematik derslerinde kullanılmak üzere tarafımızdan bir örnek ders planı aşağıdaki gibi çıkarılmış olup gerekli düzenlemelerini yaparak kurs planını düzenleyerek kendiniz için kullanabilirsiniz.
12. SINIF YILLIK PLANLARI

11. SINIF YILLIK PLANLARI

10. SINIF YILLIK PLANLARI

9. SINIF YILLIK PLANLARI

8. SINIF YILLIK PLANLARI

7. SINIF YILLIK PLANLARI

6. SINIF YILLIK PLANLARI

5. SINIF YILLIK PLANLARI
ÖRNEK MATEMATİK GEOMETRİ KURS PLANLARI Aşağıda yer alan Yetiştirme ve destekleme kursu ünitelendirilmiş YGS-LYS Okul Dersleri ve Sınavlara Hazırlık 12.Sınıf 11.Sınıf, 10.Sınıf ve 9.Sınıf matematik ve geometri planları tarafımızdan yukarıda ye alan linklerden seviyelere göre düzenlenerek örnek olarak hazırlanmıştır.

12.Sınıf Matematik YGS-LYS kurs planı indir.

11.Sınıf Matematik ve Geometri Kurs Planı indir

10.Sınıf Matematik Kurs Planı indir

9.sınıf Matematik Planı indir


http://odsgm.meb.gov.tr/kurslar/  adresinden MEB tarafından hazırlanmış  en güncel ünitelendirilmiş yıllık planlara ulaşabilirsiniz.Ayrıca bu adreste kazanım testleri ve diğer kurs dokümanlarını da bulabilirsiniz.
MEB tarafından açılacak olan yetiştirme ve destekleme kurslarına başvurular internet ortamından kurs modülünden yapılmaktadır. https://e-kurs.eba.gov.tr/ adresini kullanarak öğretmen ve öğrencilerimizin ayrı ayrı kendi alanlarından başvurularını klavuzda belirtilen usül ve esaslar eşliğinde yapmaları gerekmektedir.  Açılacak kursların en güncel klavuzunu ve güncel duyuruları;
http://www.meb.gov.tr/http://odsgm.meb.gov.tr/kurslar/ , ve e-kurs.eba.gov.tr/ adreslerinden takip edebilirsiniz.

Hicret ve Yeni Yılbaşı (1 Muharrem)

Allah Rasulü, Mekke’den ayrılıp,bir beldeye doğru yol alıyordu. Hurmalıklarla dolu bu yerin neresi olduğunu tam olarak anlayamamıştı. Bir an Yemame yada Hecer olabileceğini düşünmüş, fakat yanılmıştı. Zira orası daha sonra Medine ismini alacak olan Yesrib şehri idi. Bir rüya görmüştü Hz. Peygamber(s.a.v),tam da müşriklerin baskısı altında bunalan Müslümanların umut ışığı beklediği bir anda…
بِسْمِ اللّهِ الرَّحْمَنِ الرَّحِيمِ
الَّذِينَ آمَنُواْ وَهَاجَرُواْ وَجَاهَدُواْ فِي سَبِيلِ اللّهِ بِأَمْوَالِهِمْ وَأَنفُسِهِمْ أَعْظَمُ دَرَجَةً عِندَ اللّهِ وَأُوْلَئِكَ هُمُ الْفَائِزُونَ

Ayet-i Kerime'de Rabbimiz şöyle buyuruyor:“İman edip hicret eden ve Allah yolunda mallarıyla canlarıyla cihat eden kimselerin mertebeleri Allah katında daha üstündür. İşte onlar başarıya erenlerin ta kendileridir."(1-Tevbe, 9/20) 
 وَقَالَ النَّبِىُّ عَلَيْهِ الصَّلَاةُ وَ السَّلَامُ :
اَلْمُسْلِمُ مَنْ سَلِمَ الْمُسْلِمُونَ مِنْ لِسَانِهِ وَ يَدِهِ, وَالْمُهَاجِرُ مَنْ هَجَرَ مَا نَهَى اللهُ عَنْهُ.

Hadis-i Şerifte Peygamberimiz şöyle buyuruyor: “"İyi bir Müslüman, dilinden ve elinden Müslümanların emin olduğu kişidir. Asıl hicret eden de Allah'ın yasaklarını terk edendir."(2-Buhari, İman, 4.) Hz.Peygamber Efendimiz (s.a.v), Mekke’de tam 13 yıl insanları hakka, doğruya, tevhide çağırdı.Bu ulvi çağrıya icabet ederek ona gönülden inananlar olduğu gibi, bu çağrıyı duymazdan gelenlerde oldu. Mekkeli Müşrikler bütün insanlığa rahmet olarak gönderilen bu güzel nebiye akla hayale gelmeyecek işkence ve zulmü sergilediler. Ona kucak açma, ona ulaşma yerine, onu dışladılar, hayatına kastettiler. Bu ağır baskılar altında tebliğ ve davet görevini yerine getiremeyeceğini anlayan Kâinatın Efendisi,Miladi 622 yılında Mekke’den Medine’ye hicret etti.
Mekke’deki Müslümanlar bu hicrete hiç tereddüt etmeden katıldılar. Onların gözünde ne mal, ne evlat, ne de doğup büyüdükleri o güzelim vatanları vardı.Tek düşünceleri İslam’ı rahatça yaşayabilmek, onu yaymak ve onu tüm gönüllere yerleştirmek için gidilecek huzurlu ve sakin bir yerdi.
Hicret asla bir kaçış olmadığı gibi sıradan bir göç de değildi. İşte Mü’minlerin imanlarıyla imtihan edildiği bu göç, İslam’ın insanlığa ulaşmasına vesile olan en önemli olaylardan biridir. Hicret; hakkın batıla galibiyeti ve İslam’ı hakkıyla yaşamanın mücadelesidir. Hicret; Tevhid inancının kalplerde yerleşmesinin, gerektiğinde maldan ve candan fedakârlıketmenin sembolüdür. Hicret; Ensar ve Muhacirin sergilediği dostluk ve kardeşliğin, birlik ve beraberliğin en güzel örneğidir.Hicret; ilk Müslümanların inançları uğruna gösterdikleri fedakârlığın en üst noktasıdır. Hicret; insan onurunu zedeleyen her türlü süfli duygu ve emelleri bir kenara atıp, gönlümüzü ulvi duygulara açmaktır.Hicret; gönüller tabibi olan Sevgili Peygamberimizin (s.a.v) ifadesiyle, haram ve günahları terk ederek iyiliklere yönelmek, hakka teslim olmaktır. 
Peygamber Efendimiz'i karşılamaya gelmiş Medine Halkı O Sevgili Rasüle(s.a.v) nasıl da güzel seslenmişlerdi.  
Ay doğdu üzerimize
Veda tepesinden
Şükür gerekti bizlere
Allah'a davetinden
Sen güneşsin sen aysın
Sen nur üstüne nursun
Sen süreyya ışığısın
Ey sevgili Ey Rasul
Ey bizden seçilen elçi
Yüce bir davetle geldin
Sen bu şehre şeref verdin
Ey sevgili hoş geldin
Ey Rasul sana söz verdik
Doğruluktan ayrılmayız
Sen ey esenlik yıldızı
Senin sevginle doluyuz
 Şu sözlerdeki ahenk ve güzellik Medine Hakının nasıl da özlem ile Rasülü beklediğinin büyük bir emaresidir. Öyle ki bu hicret kutlu bir sevdanın başlangıcı ve büyük islam uhuvvetinin de bir başlangıcı olmasına vesile olmuştur.  Bu hicret ile birbirini tanımayan gönüller İslam kardeşliğinde birleşmişler Muhacir ve Ensar dostluğu başlamış ve bu dostluk sayesinde İslam'ın sedası daha gür bir şekilde çıkmaya başlamış ve Medine İslam devletinden Mekke'nin fethine doğru giden o kutlu süreç başlamıştır. Allah öyle büyük bir lütuf vermiş ki, öncesinde hiçbir şeyi kalmayan o muhacirler, daha sonraki senelerde kovuldukları, hor görüldükleri Mekke'ye büyük bir şan ve şerefle girmişlerdir.
Hicret iki ayrı gönülün birliğe doğrulmasının işaretidir. Hicret gönüllerin mahzunluktan kurtularak sevince gark olmasının günüdür. Hicret ev sahipliği yapabilecek olmanın neşesidir. Hicret bir manadır ve bu mana ancak islam ile kemale ermiştir. Hicret hüzünlü gönüllerin geride bıraktıklarına ağlamasından ziyade elde ettikleri servetin habercisidir. Hicret kıyamete kadar örnek gösterilecek olaylar zincirinin en tepe halkasıdır. Kutlu bir kavram olan hicret ancak sevgi ve muhabbetle anlaşılabilir. İşte o büyük hadise bizlere bir emare gibi, takvimlerde "yeni yılın habercisi" olarak her an hatırda tutulmasını icab etmiştir. Her yeni yıl bize bir hicreti hatırlatmalı ve gönüllerimizi Hicretin coşkusu ile sevindirmeli ve o güzide anları tekrar tekrar hatırlayarak bir nebze olsun kalbimizde manen yaşayabilmenin hazzını hayatımızda hissetmeliyiz.
Hz. Ömer (r.a) devrinde sahabenin,kameri takvimin başlangıcını hicret olarak belirlemeleri ona verilen değeri ve anlamı en iyi şekilde ifade eder. Bundan dolayıdır ki, muharrem ayı İslam tarihinde müstesna bir yere sahiptir. Muharrem ayının onuncu gününe ise  “aşure günü” denilir. Peygamber Efendimiz (s.a.v), Muharrem ayına çok değer vermiş ve “Ramazan orucundan sonra en fazîletli oruç, Allah’ın değer verdiği ay olan muharrem ayında tutulan âşûrâ orucudur."(3-Müslim, Sıyam, 38) buyurmuş, bizatihi kendisi de bu ayda oruç tutmuştur. Bir Ayet mealinde"İman edip de Allah yolunda hicret ve cihat edenler;Muhacirleri barındırıp yardım edenler var ya, işte gerçek Mü'minler onlardır, onlar için mağfiret ve bol rızık vardır."(4-Enfal, 8/74.) buyrularak hicretin ne derece önemli bir kavram olduğu ifade edilmiştir.
Kaynakça: Kastamonu Müftülüğü-30.11.2014-İnebolu İlçe Vaizi Harun YAPAR
Kadir PANCAR
25.10.2014
1 Muharrem 1436 Yeni Hicri Yılbaşının sizin şahsınızda Tüm İslam aleminde hayırlara vesile olmasını Cenab-ı Mevla'dan temenni ederim. 

Pi Sayısı ve Tarihçesi

Matematikte cebirsel olmayan herhangi bir reel sayıya aşkın sayı denir. Diğer bir deyişle, katsayıları tamsayı (ya da rasyonel) olan bir polinomun kökü olamayan reel sayılara aşkın sayı denir. Buradan, tüm aşkın sayıların irrasyonel olduğu sonucuna varılabilir. Ancak tüm irrasyonel sayılar aşkın sayı değildir, Pi örneğin irrasyoneldir, ancak bir polinomunun köküdür. 
Pi sayısı, bir dairenin çevresinin çapına bölümü ile elde edilen sayıdır. Bu oran her daire için aynı değeri aldığından, π sayısı bir matematiksel sabittir. Günlük kullanımda basitçe π ≈ 3,1416 olarak ifade edilmesine rağmen gerçek değerini ifade etmek için periyodik olarak tekrar etmeyen sonsuz sayıda basamağa ihtiyaç vardır. İlk 65 basamağa kadar ondalık açılımı şöyledir: 3, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 5923 Bir çemberin çapı 1 olduğunda, çevresi Pi’ye eşittir.
Pi, kültürel açıdan matematiksel sabitler içersinde en çok etki yapan sayıdır. Bunu en basit nedenleri çok eskiden beri bilinmesi, çember gibi çok yaygın bir geometrik cisimle ilgili olması ve bir başka nedeni de görünüşe göre bir kural izlemeyen ondalık açılımının insan aklını zorlayan kavranışıdır. Her ne kadar matematiksel açıdan π çok az bir gizem içerse de popüler kültürde bunun aksini işleyen eserler bolca mevcuttur. Ayrıca Eski Ahit’in bir bölümünde Pi sayısının değerinin 3 olduğu ima edildiğinden, kökten dinci hıristiyanlar arasında π’nin değerinin okullarda 3 olarak öğretilmesini savunanlar da vardır. 
Pi sayısı ismini, Yunanca περίμετρον yani “çevre” sözcüğünün ilk harfi olan π harfinden alır. Bu harf Latin Alfabesi’nde pi ile sembolize edilir. Ayrıca pi sayısı Arşimet sabiti ve Ludolph sayısı olarak da bilinir. Pi Sayısının Tarihçesi için, ilk gerçek değerin, Archimedes tarafından kullanıldığını belirtir. Archimedes; pi sayısının değerini hesaplamak için bir yöntem vermiş ve pi değerini 3+1/7 ile 3+10/71 arasında tespit etmiştir. Bu iki kesrin ondalık sayı karşılığı 3,142 ve 3,1408 dir. Bu iki değer, pi sayısının, bugünkü bilinen gerçek değerine çok yakın olan bir değerdir. Ancak Archimedes’in gençlik yıllarında Mısır’da uzun bir süre öğrenim gördüğü bilinmektedir. Archimedes’in sağlığında İskenderiye’de Öklid’den ders aldığı, Öklid’in de Eski Mısır ve Mezopotamya Babil yöresinde uzun yıllar dolaşan bir matematikçi olduğu, bilinen tarihi bir gerçektir. İskenderiyeli tarihçi Herodot, metrika adlı eserinde pi sayısı için verdiği değer 3,71’dir. Bu değer, İskenderiyeli Heron’dan sonra gelen, eski Yunan ve ortaçağ matematikçileri tarafından farklı değerler kullanılmıştır. İskenderiyeli Heron’un verdiği yaklaşık değerin de, Mezopotamya menşeli olması ve Mezopotamyalılar’dan alınma takribi bir sonucu temsil etmesi muhtemeldir. Pi sayısı üzerinde, Babilliler’in çok eski zamanlardan beri, kullanılan yaklaşık bir bilgiye sahip oldukları anlaşılmıştır. Genel olarak pi=3 değerini kullanıyorlardı. Bazı tabletlerde pi=3,125 değeri ne de rastlanılmıştır. Aydın Sayılı, pi hakkında yazdığı eserinde, “Mezopotamyalılar’da, idealleştirilmiş çemberlerle üçgenlerdeki geometrik münasebetler aracılığıyla, çözümlenen problemlerde teorikleştirilmiş ve soyutlaştırılmış bir durum mevcuttur” der. Böyle problemlerde sonuç hesaplanırken pi sayısı için, değerinin kullanılmış olduğunu belirtir. Bu değeri; Mezopotamyalılar takribi sonuçlar için kullanmaktaydılar. Daha iyi yaklaşık sonuçlar elde etmek istedikleri zaman pi=3,125 değerini uygularlardı. Ancak pi sayısının; Mısırlılar’ınkinden ve Susa tabletlerinin gösterdiği değerden oldukça daha iyi bir değeri, ilkin Archimedes tarafından bulunmuştur. Kaynaklar; Mezopotamyalılar, yamuk alanı hesabı ile, silindir ve prizma hacim hesaplarını bildiklerini ve pi için de 3 değerini kullandıklarını belirtir. Fakat eski Babil çağına ait olup, Susa’da bulunmuş olan tabletlerde pi için kabul edilen değerin 3,125 olduğu anlaşılmaktadır. 
Nasıl bir π sayısı? Örneğin : m ve n birer tam sayı olmak üzere, π’ nin değeri m/n şeklinde rasyonel olarak yazılabilir mi? yani π’ nin değeri rasyonel bir sayı mıdır? Başlangıcta, matematikçiler bu yönde ümitliydiler.π’ nin bu kadar çok ondalık kısmının hesaplanmasının nedenlerinden biri de, buydu herhalde. Matematikçiler bekliyorlardı ki, bir yerden sonra, basamaklar önceki değerlerini tekrar etsin, yani devirli bir ondalık sayı halinde yazılabilsin. Ama bu olmadı, Sonunda, 1761 yılında, İsviçre’li matematikçi Lambert, π’ nin irrasyonel olduğunu, yani dairenin çevresi ile çapının bir ortak ölçüsü olmadığını ispatladı. π pi sayısına ait değerin, gittikçe daha fazla basamağını hesaplama tutkusunun yanısıra, matematikçilerin rüyalarına giren başka bir problemi de, daireyi kare yapma problemiydi. Bu uğraşıya, kendilerini kaptıranların önderi Anaksagoras’tır (M.Ö. 500-428) Bir ara Atina’da, zındıklıkla suçlanıp hapse atılan Anaksagoras, burada can sıkıntısından, daireyi kare yapmanın yollarını aramaya başlar. Kendisinin çözdüğünü sandığı, bazı yaklaşık sonuçlar elde eder. Daha sonra, Kilyos’lu Hippokrates (M.Ö. 5. yüzyıllın ikinci yarısı) , belli eğrilerle sınırlanmış, bazı bölgelerin alanlarına eşit alanda kareler çizilebileceğini göstermiştir. 18. yüzyılın sonlarından başlayarak, dairenin kare yapılmasının imkansız olduğu fikri, matematikçilere hakim oldu. Bu kuşku o kadar büyük ki, 1775 te, Paris Bilimler Akademisi, devr-i daim makinesi projeleri, açıyı pergel ve cetvel kullanarak üç eşit parçaya bölme yöntemlerinin yanısıra daireyi kare yapma yöntemlerini de, artık inceleme kararı aldı. 

1775 te Euler, 1794 te Legendra, π’ nin belki de, cebirsel bir sayı olmadığına, üstel bir sayı olması gerektiğine ilişkin inançlarını belirtirler. Fakat π’ nin üstel olduğunun kanıtlanması için, 100 yıl beklendi. Sonunda, 1882 yılında, Alman matematikçi Lindermann, π’ nin üstel olduğunu ispatladı. 
M.Ö. 2000 : Eski Mısırlılar π = (16/9)2 = 3.1605 değerini kullanıyorlar.
M.Ö. 2000 : Mezopotamyalılar Babil devrinde π =3.125 değerini kullanıyorlar.
M.Ö. 1200 : Çinliler π = 3 değerini kullanıyorlar.
M.Ö. 550 : Kutsal Kitapta (I. Krallar 7 : 23) , π = 3 anlamına geliyor.
M.Ô. 434 : Anaksagoras daireyi kare yapmaya girişir.
M.Ô. 300 : Yılları, Archimides 3 + 1/7 < π < 3 + 10/71 olduğunu buluyor. Bundan başka yaklaşık olarak π = 211875/67441 kesrini de buluyor.
M.S. 200 : Yıllarında, Batlamyos π = (377/120) = 3.14166 değerini kullanıyor.
M.S. 300 : Yılları, Çüng Hing π = 3.166 değerini kullanıyor.
M.S. 300 : Yılları, Vang Fau π = (142/45) = 3.155 değerini kullanıyor.
M.S. 300 : Yılları, Liu Hui π = (471/150) = 3.14 değerini kullanıyor.
M.S. 500 : Yılları, Zu Çung-Çi 3.1415926< π < 3.1415927 olduğunu buluyor.
M.S. 600 : Yılları Hintli Aryabhatta π = (62832/2000) = 3.1416 değerini kullanıyor.
M.S. 620 : Hintli Brahmagupta π = (m/10) değerini kullanıyor. Bazı kaynaklarda da Brahmagupta’nın için değerini kullandığı belirtilir.
M.S. 1200 : İtalyan Fibonacci π = 3.141818 M.S. 1436 : Semankant Türkü Giyasüddin Cemşid el Kaşi, π ‘yi 14 basamağa kadar elde ediyor. Bu değer bugünkü kabul edilen değere göre doğrudur.
M.S. 1573 : Valentinus Otho π = (355/113) = 3.1415929 olduğunu buluyor.
M.S. 1593 : Hollanda’lı Adriaen van Rooman π’yi 15 basamağa kadar hesaplıyor.
M.S. 1596 : Hollandalı Lodolph ve Cevlen π’yi 35 basamağa kadar hesaplıyor. (Bu nedenle Almanya’da pi sayısı, Lodolph sayısı diye de bilinir.)
M.S. 1705 : Abraham Sharp π’ yi 72 basamağa kadar hesaplıyor.
M.S. 1706 : John Machin π’ yi 100 basamağa kadar hesaplıyor.
M.S. 1719 : Fransız De Lagny π’ yi 127 basamağa kadar hesaplıyor.
M.S. 1737 : Leonard Euler’in benimsemesiyle π sembolü evrensellik kazanıyor.
M.S. 1761 : lsviçreli Johaun Heinrich Lambert π’ nin irrasyonelliğini kanıtlıyor.
M.S. 1775 : İsviçre’li matematikçi, L. Euler π’ nin üstel olabileceğine işaret ediyor.
M.S. 1794 : Fransız Adrien-Marie Legendre π’ nin ve 2 nin irrasyonelliğini kanıtlıyor.
M.S. 1794 : Vega π’ yi 140 basamağa kadar hesaplıyor.
M.S. 1844 : Avusturyalı Schulz von Strassnigtzky π’yi 200 basamağa kadar hesaplıyor.
M.S. 1855 : Richter π’ yi 500 basamağa kadar hesaplıyor. M.S. 1874 : lngiliz W. Shanks π’ yi 707 basamağa kadar hesaplıyor.
M.S. 1882 : Alman Ferdinan Lindemann π’ nin üstel bir sayı olduğunu kanıtlıyor.
M.S. 1947 : İlk bilgisayar ENİAC π’ yi 2035 basamağa kadar hesaplıyor.
M.S. 1958 : F. Genuys tarafından, Chiffers I de yayınlanan makalede, π sayısının değeri 10.000 nci ondalık basamağa kadar hesaplanmıştır.
Sonraki zamanlarda çeşitli bilgisayar yazılımları ile pi sayısının basamakları ciddi şekilde artmış ve milyonlarca basamaklı açılımları bulunmuştur.

Basit Eşitsizlikler Kavrama Testi

Basit Eşitsizlik kavramını daha iyi anlamak için çeşitli kitaplardan derlenerek hazırlanmış testimizi istifadenize sunuyoruz. Sadece basit eşitsizliklerini çözebilme, eşitsizlik kavramının özelliklerini öğrenime kazandırmak için oluşturulmuş test her öğrenci seviyesine hitap edecek şekilde yapılabilecek sorulardan meydana gelmiştir. Testimizi 2 ders saati içerisinde etkinlik olarak planlayabilirsiniz. Testi indirmek için tıklayınız...

Denklem Çözme Kavrama Testi

Denklem çözme kavramını daha iyi anlamak için çeşitli kitaplardan derlenerek hazırlanmış testimizi istifadenize sunuyoruz. Sadece basit denklem çözme kavramını kazandırmak için oluşturulmuş test her öğrenci seviyesine hitap edecek şekilde yapılabilecek sorulardan meydana gelen testimizi 2 ders saati içerisinde etkinlik olarak planlayabilirsiniz. Testi indirmek için tıklayınız...

Fonksiyonlarda Bileşke Kavrama Testi

Fonksiyonlarda bileşke kavramını daha iyi anlamak için hazırlanmış testimizi istifadenize sunuyoruz. Sadece fonksiyonlarda bileşkenin tanımından yola çıkılarak yapılabilecek sorulardan oluşan testimizi 2 ders saati içerisinde etkinlik olarak planlayabilirsiniz. Bileşke fonksiyon testini indirmek için tıklayınız... 

İki Vektörün Vektörel Çarpımı

İki vektörün vektörel çarpımı hesaplanırken vektörlerlerin standart birim vektörleri olan e1,e2 ve e3 vektörleri ile birlikte üçlü olarak determinant hesabı yapılır. Bu şekilde aşağıda verilen formülü ezberlemeden kolayca iki vektörün vektörel çarpımı bulunmuş olur. 
Vektörel çarpım yardımıyla taşıyıcı kolları vektör biçiminde verilen bir paralelkenarın alanı da bulunabilir. Aynı şekilde Uzayda lineer bağımsız  , a, b ve c üzerinde kurulu paralelyüzün hacmi, <axb,c> vektörel çarpım ve iç çarpım yardımıyla hacim hesabı yapılır.

Vektörel çarpımın özellikleri vektörel çarpımın tanımından yola çıkarak iki boyutta rahatlıkla görülebilir. Üç boyutlu uzayda da özellikleri benzer biçimde gösterebiliriz. Burada vektörel çarpım ile iç çarpım arasındaki ilişki de görülür.


Konu ile alakalı hazırladığımız uygulama testini indirip çözerseniz vektörel çarpım hakkında daha ayrıntılı bilgi sahibi olabilirsiniz. Testte yer alan sorular; vektörel çarpımın kullanım yerleri baz alınarak lise düzeyine uygun olacak şekilde hazırlanmıştır. (Klasik açık uçlu soru ve test tipi sorularından oluşan toplam 20+8=28 soruluk konu kavrama testini indirmek için tıklayınız.

Dik izdüşüm Vektörü

İzdüşüm, ışınlar aracılığıyla bir cismin şeklini iz düşüm düzlemine belirli kurallarla aktarılması.Yer elipsoidini harita düzlemi üzerinde matematiksel olarak gösterme yöntemine “harita izdüşümü” denir. Bu yöntem ; uygun izdüşümler, eşdeğer izdüşümler ve perspektif izdüşümler gibi sistemleri kapsar. Genellikle izdüşüm sistemi harita çizecek olan kişinin amacına göre seçilir.Kullanılan izdüşüm sistemleri arasında en eskisi “Mercator izdüşüm sistemi”dir. Yeri küresel kabul edilen bu sistem , deniz haritalarının yapımında bugün de kullanılmaktadır. Bu izdüşüm sisteminin geliştirilmesiyle “Mollweide izdüşümü” bulundu. Mollweide izdüşümünde boylam daireleri kutuplara doğru biribirine yaklaşır. Merkezi bir paralel boyunca yapılan konik bir açılımdan yararlanılan sistem “Lambert sistemi”dir. Bunlardan başka Laborde, dik, stereografik ve çok yüzlü, Gauss gibi daha çeşitli izdüşüm sistemleri de kullanılmaktadır.
Bir vektörün başka bir vektör üzerindeki dik izdüşümü alınırken öncelikle iki vektörün iç çarpımları bulunur. Daha sonra zemin vektörünün kendisiyle iç çarpımı bulunur. Bulunan bu sonuçların birbirine bölümü ile elde edilen sonuç zemin vektörüne katsayı olarak çarpılıldığında dik izdüşüm vektörü bulunmuş olur.

Yukarıda verilen izdüşüm formülü vektörlerin iç çarpımı yardımıyla rahatlıkla ispatlanabilir. İki vektörün birbiri üzerindeki dik izdüşüm vektörleri bulunurken iç çarpımdaki cos değeri ve cosinüs fonksiyonun tanımından yararlanılır.
Yukarıda geçen proj izdüşümü ifade etmek için kullanılan özel bir matematik terimidir. proj değerleri bulunduktan sonra daha kısaca yazabilmek için u ve v değerleri yazılarak izdüşüm vektörleri daha sade bir şekilde yazılmış olur.

Vektörlerde İç Çarpım (Öklid İç Çarpım)

Uzayda iki vektörün iç çarpımı bir reel (skaler) sayıdır. Öklid iç çarpımı ile birlikte R^3 uzayına Öklid uzayı denir. İki vektörün iç çarpımı yapılırken birinci vektörün her bileşeni ikinci vektörün aynı sıradaki bileşenleriyle tek tek çarpılır ve bütün çarpım sonuçları toplanır. Unutulmamalıdır ki iç çarpımın sonucu kesinlikle bir reel sayıdır.
Uzayda iki vektörün başlangıç noktalarının herhangi bir P noktasına taşınması ile oluşan açıya bu iki vektör arasındaki açı denir.Merkezi  P  olan  birim  çemberin,  bu  açının  kenarları  arasında kalan yayının uzunluğuna iki vektör arasındaki açının ölçüsü denir. İki vektörün arasındaki açı bulunurken vektörlerin normundan uzunluğundan faydalanarak cosinüs değeri bulunur. Daha sonra bu cosinüs değerini veren açı trigonometri cetvelinden yararlanarak veya bilinen açıların trigonometrik değerlerinden yola çıkarak açı hesaplanır.
İç çarpımın özelliklerini iki boyutta rahatlıkla ispatlayabiliriz. Aynı ispat üç boyutlu uzay için de geçerlidir. İç çarpımın geometrik yorumu vektörlerde izdüşüm vektörünü göstermek için kullanılır.

Vektörlerin Lineer Bağımlılığı

Uzayda doğrultuları aynı olan iki vektör lineer bağımlıdır. Yani biri diğerinin bir reel katı olarak yazılabilir.Uzayda, doğrultuları farklı olan iki vektör lineer bağımsızdır. Yani biri diğerinin katı olarak yazılamaz.Uzayda üçten fazla vektör lineer bağımsız olamaz.Uzayda, u , v ve w vektörleri verildiğinde w=a1.u +a2.v olacak şekilde, a1, a2 ∈ R sayıları bulunabiliyorsa bu üç vektöre lineer bağımlı, bulunamıyorsa lineer bağımsız vektörler denir.
u,v,ve w vektörlerinin lineer bağımsız olması için gerek ve yeter şart det(u,v,w) değerinin sıfırdan farklı olmasıdır. Uzayda lineer bağımsız vektörler ikişer ikişer birbirlerine dik ise bu sisteme dik koordinat sistemidenir. Uzayda bütün yer vektörlerinin kümesi R^3 ile gösterilir.

 
Vektörlerin lineer birleşimi yazılırken herbir vektör yukarıdaki tanım gereği lineer birleşimi olarak yazabilmek için vektörlerin eşitliğinden yararlanılır. Bir vektörün diğer vektörlerin lineer birleşimi olarak yazılabilmesi için  diğer vektörlerin uygun katsayılarla çarpımı olacak şekilde belli reel katsayılarının bulunması gereklidir.

Düzlemlerin Birbirine Göre Durumu

Uzayda aynı doğru üzerinde yer almayan farklı üç nokta bir düzlem belirtir. Bununla birlikte kesişen iki doğru, birbirine paralel olan iki doğru, bir doğru ve dışındaki bir nokta da bir düzlem belirtir. Bunlara göre iki düzlem birbirine göre durumları; 1)Paralel 2)Çakışık 3) Kesen düzlemler olarak isimlendirilir.
Yukarıda anlatılanlardan yola çıkarak üç düzlem içinde aynı durumlar söz konusudur. Düzlemlerin kesişimi bir doğru boyunca olacaktır. Kesişimleri olmayan düzlemler ise birbirine paralel düzlemlerdir.
Kesişen düzlemlerin arakesitlerinde meydana gelen açılara göre noktanın düzlemlere uzaklıkları bulunabilir.
 
Uzayda denklemi verilen düzlemlerin durumları içinde yukarıda anlatılan özellikler geçerlidir. Denklemlerinin duurmlarına göre düzlemler yine paralel, çakışık veya kesişen düzlemler olabilir. Denklemlerdeki x, y ve z'nin katsayılarına göre üç durum aşağıdaki gibi incelenir.

Popüler Yayınlar

Sosyal Paylaşım

Icon Icon Icon Icon

Lütfen yazılarımızla ilgili yorum yapmaktan çekinmeyin. Kırık linkleri ve hatalı içerikleri mutlaka bize ilgili sayfa altında yorum yaparak bildiriniz. Blog sayfalarımızda ilginizi çekebilecek diğer yazılar için blog arşivimizi kullanabilirsiniz.

Son Yorumlar

Yararlı Linkler