Ankara ilitam 2.Sınıf 4.Dönem PDF Kitapları

islam felsefesi
tefsir metinleri 2
hadis metinleri 2
dinler tarihi
din felsefesi
Ankara ilitam 2.Sınıf 4.Dönem PDF Kitapları indirmek için Tıklayınız...

Ankara İlitam 2.Sınıf 3.Dönem PDF Kitapları

Tefsir Metinleri
Tasavvuf Tarihi
İslam Tarihi
İslam Hukuku
Hadis Metinleri

Ankara İlitam 2. Sınıf 3.Dönem PDF Kitaplarını indirmek için Tıklayınız

Ankara İlitam 1.Sınıf 2.Dönem PDF Kitapları

Kuran-ı Kerim II
Arapça-II
İslam Hukuku-I
İslam Tarihi-I
Felsefe Tarihi
İslam Ahlak Felsefesi

1.sınıf 2.Dönem Ders Kitaplarını İndirmek için Tıklayınız.

Ankara İlitam 1.Sınıf 1.Dönem PDF Kitapları

Kuran-ı Kerim I
Arapça-I
Sistematik Kelam
Osmanlı Türkçesi
Fıkıh Usulü
Mantık

Ders Kitaplarını indirmek için Tıklayınız

Smith Sayısı (Wilansky)

1 den büyük asal olmayan bir tamsayının rakamlarının toplamı,  sayı asal çarpanlarına ayrılarak yazıldığında bu yazılışta bulunan  tüm asal çarpanların rakamlarının toplamına eşit oluyorsa bu tür   sayılara Smith sayısı denir.

Örnek: ( 121 bir Smith sayısıdır. )
121  = 11 * 11          
1 + 2 + 1   1 + 1 + 1 + 1            
4 = 4     

Örnek: ( 166 bir Smith sayısıdır. )
166 = 2 * 83      
1 + 6 + 6  = 2 + 8 + 3               
13  = 13    

Bu sayılarla ilgili çıkmış bir üniversite sorusu bile vardır. 2005 yılında yapılan tek basamaklı sınav sisteminde ÖSS de bu şekilde tanımı verilerek hazırlanmış bir soru karşımıza çıkmaktadır. 

Lehigh Üniversitesi Matematik Bö-lümü’nde öğretim üyesi olan Albert Wilansky, 1982 yılında üvey kardeşi Herold Smith’i aramak için telefonun başına geçer ve numaraları çevirir: 4-9-3-7-7-7-7-5.  Bir yandan kardeşi ile konuşur­ken bir yandan da alışkanlığı nedeniyle telefon numarası 4937775′i asal çarpan­larına ayırmaya başlar. Konuşmalar ola­ğan seyrinde devam ederken bir anda Wilansky durgunlaşır ve kardeşinin söy­lediklerine tepki vermemeye başlar.  Sayı­yı çarpanlarına ayırdığı kağıtta gözü eşit­liğe takılmıştır:
4937775 = 3 x 5 x 5 x 65837. Eşitliğin her iki tarafındaki ra­kamları topladığında kalbi hızlı hızlı at­maya başlar ve gözlerine inanamaz: 4+9+3+7+7+7+5 = 3+5+5+6+5+8+3+7 = 42. Kardeşine hiçbir şey söylemeden bü­yük bir heyecanla telefonu kapatır ve ay­nı özellikte benzer sayılar aramaya baş­lar. Görür ki keşfettiği özelliğe sahip sonsuz tane sayı bulunmaktadır.  O gü­nün anısına Wilansky, rakamları toplamı asal çarpanlarının rakamlarının toplamı­na eşit olan sayılara “Smith Sayıları” adı­nı verir.
Her asal sayının sadece bir tane asal çarpanı olduğu için (o da sayının kendi­sidir) tüm asal sayılar aslında birer Smith Sayısı’dır. 10000′den küçük sayı­lara baktığımızda da 376 adet Smith Sa­yısı olduğunu görürüz: 
4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 378, 382, 391, 438, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 576, 588, 627, 634, 636, 645, 648, 654, 663, 666, 690, 706, 728, 729, 762, 778, 825, 852, 861, 895, 913, 915, 922, 958, 985, 1086, 1111,1165……
Smith Sayıları’nın keşfinin ar­dından yapılan çalışmalarla bu sayılar arasında başka ilginç özelliklere sahip sayı grupları tanımlanmıştır. Örneğin sa­dece iki asal sayının çarpımı şeklinde ya­zılabilen Smith Sayıları’na “Yarı Asal Smith Sayıları” adı verilmiştir. 
121 sayısı bir yarı asal Smith Sayısı’dır. 121 = 11 x 11 ve 1+2+1 = 1+1+1+1. 
Diğer bir ilginç grup ise Palindromik Smith Sayıları’dır. Bu sayılar baştan ve sondan okundukla­rında aynı değeri veren sayılardır. 666 sayısı hem bir Smith Sayısı’dır.
 (666 = 2x3x3x37) hem Smith sayısı hem de palindromik özelliği bulunmaktadır.

Örnek:  Yukarıda bahsi geçen sayıyı 4937775 sayısını kullanırsak; 
4937775 = 3 * 5 * 5* 65837          
4 + 9 + 3 + 7 + 7 + 7 + 5 = 3 + 5 + 5+ 6 + 5 + 8 + 3 + 7                 
42 = 42  (4937775 bir Smith sayısıdır. )

Peşi sıra gelen Smith sayılarına da  728 ve 729,  2964 ve 2965 gibi sayılara da "smith kardeş sayıları" denir.

Bilgisayar yardımıyla bir sayının Smith sayısı olup olmadığı bulunabilir. Bunun için java kodlama sistemine göre aşağıda verilen kodlama yapılarak bir algoritma oluşturulabilir.


public static boolean Smith(int sayi) {
    int gecici = sayi, i;
    int asal_carpanlar = 0;
  
    for (i = 2; gecici > 1; i++) {
     if (gecici % i == 0) {
      gecici /= i;
      asal_carpanlar += i;
      i--;
     }
    }
    return basamak_toplami(asal_carpanlar) == basamak_toplami(sayi);
   }
   public static int basamak_toplami(int sayi){
    int toplam = 0;
    while (sayi > 0) {
     toplam += sayi % 10;
     sayi /= 10;
    }
    return toplam;
   }

Mükemmel Sayıların Keşfi

Mükemmel Sayı; kendisi hariç, tüm pozitif tam bölenleri toplamı kendine eşit olan sayılardır. Örneğin 6 sayısının bölenleri 1,2,3 ve 6 dır. 6 hariç bu sayıların toplamı: 1+2+3=6 bulunur. Bu nedenle 6 sayısı mükemmel sayıdır.

Özellikle Avrupa'da yoğun olarak mükemmel sayılara ilgi gösterilmiştir. Mükemmel sayılara gösterilen tutkunun araka planında dini inanışların etkisi büyüktür. Şöyle ki; ilk mükemmel sayı olan 6'nın Tanrının dünyayı 6 günde yaratmış olması inancı ve Kameri ayının 2. ayı kadar,yani 28 gün olması da var.Mükemmel sayılar hakkında ilk defa bu dini inanışların da etkisi ile MS 100 civarındaNicomachus  ispat gereği duymadan tamamen sezgisel olarak şu özellikleri sıralıyor:1- N.ci. mükemmel sayının n basamağı vardır.(1. Sayı 6, 2. sayı 28 3.sayı 496, 4. sayı 8128) dikkat edelim ki henüz 5. mükemmel sayının kaç olduğu bilinmiyor. 2- Bütün mükemmel sayılar çifttir(sizin iddianız bu özelliği yok ediyor) 3- Bütün mükemmel sayılar sırasıyla 6 ve 8 ile biterler). 4- Herhangi bir k>1 için 2k-1 asal ise 2k-1(2k-1) bir mükemmel sayıdır ve mükemmel sayıların hepsini üreten bir algoritmadır. 5- Sonsuz sayıda mükemmel sayı vardır.Bu söylenenlerin doğruluğu/yanlışlığı sonraki yüzyıllarda daha net biçimde ortaya çıkmıştır.
Takip eden yüzyıllarda mükemmel sayılar konusuna gönül veren birçok matematikçi oldu. Yazılı kayıtlarda 4.'den sonraki mükemmel sayılara Arap matematikçi İsmail İbn İbrahim İbn Fallus'da(1194-1239) rastlıyoruz. Verdiği 10 mükemmel sayının ilk 7 tanesi doğru 3 tanesi hatalı. Nihayet 1536'da İtalyan matematikçi Pietro Cataldi 211-1 sayısının asal olmadığını(23.89=2047) gösterdi. Bir asal sayı olan 213-1=8191 'dan hareketle 212(213-1)=33550336'nın bir mükemmel sayı olduğunu da buldu. 5. mükemmel sayı 8 basamaklıydı.

Nicomuchos'un iddialarından 1. 3. 4. zamanla çürütüldüler. 6. sayı 1555'de J.Scheybl tarafından bulundu ise de 1977'ye kadar farkına varılmadığından mükemmel sayılar konusundaki gelişmelere katkısı olmadı.. 6. mükemmel sayıyı tekrar ve Scheybl den bağımsız olarak bulan gene Cataldi(1603) idi: 216(217-1)=8589869056. Bu sıra 8 de olmasına rağmen tekrar 6 ile biten bir mükemmel sayıydı. Cataldi 7. mükemmel sayıyı da bulan matematikçi oldu: 218(2191)=137438691328.
Mükemmel sayılarla ilgili çalışan matematikçilere Pierre de Fermat Rene Descartes ve Marin Mersenne gibi ünlüleri de dahil edelim. Bu çalışmalar sırasında Mersenne Asalları'nın da bulunduğunu Fermat'nın küçük teoremi adıyla ünlü teoremin bu çalışmaların eseri olduğuna değindikten sonra 8. mükemmel sayıyı bulan Euler'e gelelim: Euler kendinden önceki matematikçilerden farklı olarak tek mükemmel sayıların da olabileceğini ileri sürdü. Günümüze kadar bu konuda yapılmış olan çalışmalar ne bu iddianın doğruluğunu ne de yanlışlığını ispatlamaya yetmemiştir.
Euclid ilk dört mükemmel sayı üstünde yaptığı araştırmalarda şöyle bir formül ile tanımlanabildiklerini keşfetmiştir: 2p−1(2p−1)p sayısı ise asal bir sayıdır. Buna göre ilk dört mükemmel sayı şu şekilde hesaplanabilir:
p = 2:   21(22−1) = 6
p = 3:   22(23−1) = 28
p = 5:   24(25−1) = 496
p = 7:   26(27−1) = 8128.

2p−1(2p−1) formülüne göre, ilk 40 çift mükemmel sayıyı hesaplamak için p değişkeninin değeri şunlardan biri olabilir: p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609.

6,28,496,8128....... sayıları mükemmel sayılardır. Formülde p yerine yukarıdaki değişkenler yazılarsa yeni mükemmel sayılar bulunabilir. Bu sayılar arasında başka mükemmel sayılar (çift ve ya tek) olup olunmadığı bilinmemektedir.Tek mükemmel sayıların varlığı ve ya yokluğu tam olarak kanıtlanamamışlardır. Ama ya olabildiğince az oldukları ve ya olmadıkları düşünülmektedir.

11.Sınıf Matematik (2 saat) 2.Dönem 2.Yazılı Soruları

2.Dönem 2.sınav 11.sınıf 2 saatlik matematik dersi 10 soruluk klasik yazılı soruları için Yazılıyı indirmek için Tıklayınız...

Soru Dağılımı
İstatistik 2 soru
Diziler 2 soru
Toplam Sembolü 3 soru
çarpım sembolü 1 soru
Matrisler 2 soru

Tamsayılar Tarama Testi

Tarama Testi 25 Soru, A-B grupları ve Cevap Anahtarından oluşmuştur.Sorular çeşitli kitaplardan derlenerek kolaylık derecelerine göre hazırlanmıştır. Resim formatında olan soruları paint ile düzenleyebilirsiniz. Sorular fazla zor olmayacak biçimde seçilmiştir.İndirmek için  Tıklayınız...

Köklü Sayılar Tarama Testi

Tarama Testi 25 Soru, A-B grupları ve Cevap Anahtarından oluşmuştur.Sorular çeşitli kitaplardan derlenerek kolaylık derecelerine göre hazırlanmıştır. Resim formatında olan soruları paint ile düzenleyebilirsiniz. Sorular fazla zor olmayacak biçimde seçilmiştir.İndirmek için Tıklayınız...

Doğal Sayılar Tarama Testi


Tarama Testi 25 Soru, A-B grupları ve Cevap Anahtarından oluşmuştur.Sorular çeşitli kitaplardan derlenerek kolaylık derecelerine göre hazırlanmıştır. Resim formatında olan soruları paint ile düzenleyebilirsiniz.

Sorular fazla zor olmayacak biçimde seçilmiştir.İndirmek için Tıklayınız..

İlitam 1.Sınıf 2.Yarıyıl Final Soruları 2013

ANKARA ÜNİVERSİTESİ 2012-2013 EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI BAHAR YARIYILI FİNAL SINAVI İLAHİYAT LİSANS TAMAMLAMA UZAKTAN EĞİTİM PROGRAMI (YARIYILLIK) 
CUMARTESİ-PAZAR SABAH OTURUMLARI

1.sınıf 2.dönem 
DERSLER:Kur’an-ı Kerim -II,Arapça -II,İslam Hukuku -I,İslam ahlak felsefesi,felsefe tarihi 
Soruları indirmek için tıklayınız

Gezi Parkı Olayları

Taksim Gezi Parkı Olayları, 61. Türkiye Cumhuriyeti Hükûmeti'nin, İstanbul'un Beyoğlu ilçesinde bulunan ve İstanbul Büyükşehir Belediyesi'ne tahsis edilmiş bulunan Taksim Gezi Parkı'na Topçu Kışlası yapılması ve Taksim Yayalaştırma Projesi bahanesiyle 31 Mayıs 2013 tarihinde ortaya çıkmış, ve daha sonra gün geçtikçe şiddetlenerek artan bir ayaklanma görüntüsü almış, ülke ekonomisini ve huzuru bozucu ve yıkıcı bir görüntü haline dönüşmüştür. Olaylar sonucunda çok ciddi maddi hasarlar meydana gelmiş, ülke ekonomisinde ağır hasar oluşmuştur. Gezi Parkı protestoları halkın huzurunu bozmanın yanı sıra büyük çapta maddi hasara da neden olmuştur.

Gezi Parkı eylemleri sonrası kayda girilen ve tespit edilenler neticesinde, 89 polis aracı, 42 özel araç, 4 otobüs, 18 belediye otobüsü, 4 bina, 99 işyeri, 1 konut, 1 polis merkezi çok sayıda otobüs durağı, ankesörlü telefon, trafik ışıkları zarar görmüştür. Kuşkusuz olayların merkezi konumundaki İstanbul en büyük zararı görenler illerden biri olmuştur. İçişleri Bakanı Muammer Güler'in açıkladığı resmi rakamlara göre, 4 Haziran itibariyle 77 ilde 603'e yakın eylem gerçekleşti. Yapılan eylemler sırasında 280 işyeri, 1 özel konut, 6 kamu binası, 18 belediye otobüsü, 207 özel araç, 103 polis aracı, bir polis merkezi ve 11 AK Parti hizmet binasının yanı sıra başta Ankara ve İstanbul'da olmak üzere çok sayıda otobüs durağı, trafik ışık ve levhaları, MOBESE kameraları,bankamatikler ve kaldırımlarda çeşitli zararlar meydana geldi. İlk tespitlere göre, bu zararların 70 milyon liranın üzerinde olduğu ifade edilmiştir; özel iş yerlerinde ve diğer yerlerde yapılan tespitler dahil edilmemiştir.  Protestoların ilk günlerinde 3 televizyon kanalının canlı yayın araçlarına ağır hasar verilmiştir.Ayrıca bazı ATM'ler ve belediye otobusleri de ateşe verilmiştir.


Gezi Parkı olaylarının Borsa İstanbul'a (BİST) etkisi çok sert oldu. Yeni haftaya yüzde 6,43 kayıpla başlayan BİST kapanışta yüzde 10.5 düşüş kaydetti. 9.006 puan değer kaybederek 76.983 puana düşen Borsa İstanbul son 10 yılın en sert düşüşünü yaşandı. Satışların banka hisselerinde yoğunlaştığı borsada banka hisseleri yüzde 11'i bulan kayıplara uğradı. 


Borsada işlem gören şirketlerin toplam piyasa değeri de bir günde 33 milyar dolar eriyerek 291 milyar dolara geriledi. Birkaç haftadır yüksek seyreden Dolar 1.90 TL'ye çıkarken, gösterge tahvilin faizi yüzde 6.51 ile Kasım 2012'den beri en yüksek seviyesine çıktı. KESK'in bünyesindeki sendikaların grev kararı alması, kredi derecelendirme kuruluşlarının açıklamaları piyasalardaki kaybı biraz daha körükledi.


İlk başlarda "doğa/ağaç hassasiyeti" algısıyla öne çıkan olaylar, birkaç gün içinde bambaşka bir yöne dönüşmüştür.. İstanbul'da, Ankara'da, İzmir'de ve diğer birçok şehirde şaşırtıcı derecede bir organizasyonla olaylar körüklenirken, asıl amaç da çok geçmeden ortaya çıkmıştı: Hükümetin İstifası ve yapılmakta olan  üçüncü köprü, İstanbul Havalimanı, Kanal İstanbul gibi mega projelerin durdurulması isteniyordu. Yani 13 yıl önce sokakta tanklar yürütülerek yapılan şey, o gün de yine sokakta yapılmak isteniyordu. Hükümet dağıtılamazsa, karşıt görüşlü gruplar birbiriyle çatıştırılıp, çatışmaların tüm ülkeye yayılması sağlanıp, Mısır'da olduğu gibi bir darbe hesabı yapıldığı da iddialar arasında yerini almıştı.


Oyuncu Mehmet Ali Alabora'nın gezi olayları esnasında attığı "hala anlamadınız mı, mesele sadece ağaç değil" tweeti, gerçek niyeti alenen ortaya koyarken, özellikle Taksim'de duvarlardaki Başbakan Recep Tayyip Erdoğan ve ailesine yönelik ağır küfürler, Osmanlı Mirasına ve İslam dinin kutsallarına hakaretler de vandallaşmış "eylemciler"in gözünün ne kadar döndüğünün göstergesiydi. Ancak bir takım medya organları ısrarla bu küfürlü duvar yazılarını "espri" şeklinde nitelemiş, vandalları da "esprili çocuklar" şeklinde tasvir ederek onların motivasyonunu artırmaya, henüz sokağa çıkmayanları sokağa çekmeye yönelik çirkin bir algı operasyonunu devreye sokmuştu. "esprili çocuklar"ın hükümetten talepleri ise şaşırtıyordu: "Üçüncü köprü yapılmasın, üçüncü havalimanı yapılmasın, kanal İstanbul iptal edilsin vb... 


Olayları asıl körükleyen polisin tutumu değil, halkın sırtından beslenmeye alışmış muktedirlerin, medya ve ajanlar yoluyla gençleri, çocukları galeyana getirip villalarında, yalılarında olayları seyredenlerin verdiği gazdı. Dünya medyası kopup gelmişti, CNN 24 saat Taksim'den canlı yayın yapıyordu. Sadece Türk medyası değil, Abd'deki olayları büyük bir ustalıkla gizleyen Abd medyası, İngiliz medyası, Almanya'daki sokak olaylarını hiç görmeyen Alman medyası 7/24 Gezi Parkı'nda kendilerine biçilen görevi hakkıyla yapıyorlardı. 


En azimli yayın organı olarak da, 24 saat gezi'den canlı yayın yapan CNN göze çarpıyordu. Kışkırtıcı yayınlar eşliğinde Türkiye'de olup bitenleri anında dünyaya servis ederek kendilerince bir Türkiye algısı ortaya koyuyorlardı. Alman Yeşiller Partisi Başkanı Claudia Roth Gezi'de Türkiye cumhuriyeti'ne karşı "direnerek görevini yapıyordu.


Taksim'in ortasında zil zurna sarhoş halde dans ederek, bozuk aksanıyla "size medeniyet getirdim" diyen sarhoş kadın, sessiz eylem tipi uygulayan duran adamlar, kırmızılı kadın, piyanolu gençler, "çapulcu" işadamları” Tvlerde olayları göstermek yerine gösterilen Penguen Belgeseli, balkonlardan tencere tava çalan insanlar, vs vs her türlü oyun Gezi'de sergilenmişti. Bütün bu olaylar ekonomiye, huzura ve istikrara ciddi zarar vermiş ve sonunda birlikten yana saf tutmuş ülke insanımızı basiretiyle 15 Haziran 2013'te olaylar sonlandırılmış ve meydan boşaltılmıştır.
Kaynakça.:
http://haber.star.com.tr/guncel/gezi-olaylari-ve-agir-bilancosu/haber-1032404
http://ekonomi.haber7.com/ozel-haber/haber/1034547-gezi-parki-olaylarinin-ekonomik-faturasi-agir-oldu

9.Sınıf 2.Dönem 3.Yazılı Sınavı (ortak)


2014-2015 eğitim öğretim yılı : 9.Sınıf Yazılı Soruları: tamamı klasik sorulardan oluşur. Yazılıyı indirmek için tıklayınız.
Soru Dağılımı
Fonksiyonlar, Üçgen açılar, Üçgende açı-kenar bağıntıları, üçgende pisagor teoremi,üçgende alan,üçgende benzerlik,üçgende cosinüs teoremi ve üçgende trigonometri.

2012-2013 9.Sınıf Örnek Yazılı Soruları: indirmek için tıklayınız.
Soru Dağılımı
 Doğal Sayılardan başlayarak devam eden geometri soruları olmayan 10 soruluk klasik yazılı sınavıdır.

Thales Teoremleri ve İspatı

Thales Teoremi: “En az üç paralel doğru, iki kesen üzerinde uzunlukları orantılı parçalar ayırır.” Thales teoreminin uygulanması aslında benzerlik bağıntılarının bir özel uygulamasıdır. Thales teoremi ispatlanırken de AAA benzerliğinden yararlanarak ispatlama işlemi yapılır.

Birbirine paralel olan üç veya daha fazla doğru, iki farklı doğruyla kesişirse, kesenler üzerinde ayrılan karşılıklı doğru parçalarının uzunlukları orantılı olur. İkinci thales teoremi de buna benzer biçimde yine benzerlik yardımıyla birbirini kesen iki doğru ve bunları kesen birbirine paralel doğrular yardımıyla oluşan şekilde benzer üçgenlerin kenarları arasındaki orantıdan oluşur. Kesişen iki doğru, paralel iki doğru ile kesildiğinde, oluşan iki üçgenin karşılıklı kenar uzunlukları orantılı olur.
Thales Teoremi Üçgenlerde benzerlik işlemlerinin temelini oluşturan önemli bir teoremdir. Bu nedenle iyi bilinmesi ve örneklerle pekiştirilmesi gerekmektedir.


Seva (Ceva) Teoremi ve İspatı


Seva teoremi kullanılırken üçgenin iç bölgesinde köşelerden geçmiş olan doğruların kesiştiği bir noktanın bulunması gerekir. Seva teoremi aslında menelaus teoreminin özel bir durumudur. Eğer bir üçgen köşlerinden geçen doğrular yardımıyla kenarları parçalanarak doğru parçaları oluşuyorsa bunların arasında menelaus teoremi gereği bir oran mevcut olur. Menelaus teoremi üçgene uygulanıp eşitlikler taraf tarafa bölünür veya çarpılırsa (uygulandığı konuma göre) seva teoremi elde edilir.


Bu teoremin menelaus teoremi ile ispatı yapılırken içerideki noktaların bir noktada kesiştikleri varsayılarak menelaus teoremi uygulanmıştır. Teoremin ikinci bölümünün ispatı da yapılacak olursa (yani varsayım ispatlanırsa) teorem tam olarak ispatlanmış olur.Bunun için aşağıdaki ispatı inceleyiniz.
İkinci bölümde (şimdi de (5)i varsayalım diye başlayan kısım) köşelerde inilen doğruların bir noktada kesiştiklerini göstermiş olur. Bu teorem kullanılarak aynı şekilde üçgenin kenarortaylarının, açıortaylarının ve yüksekliklerinin bir noktada kesiştikleri gösterilebilir.

Menelaus Teoreminin İspatı

Verilen bir üçgende üçgenin kenarlarından birinin uzantısı üzerinden alınan rastgele bir noktadan karşı kenara çizilen doğrunun kestiği noktaların yardımıyla oluşan doğru parçaları arasında menelaus teoremi uygulanabilir. 
Menelaus teoreminin uygulanışı ile ilgili bir örnek soru ve ardından bir olimpiyat sorusu ile teoremin işleyişini görelim.
Dikkat edilirse sorularda sözel bir dille aktarım yapıldıktan sonra şeklin çizimi ve yorumlanması öğrenciye bırakılmıştır. bu nedenle bu tür olimpiyat sorularının çözümünde öncelikle şeklin doğru çizilmesi ve buna göre uygun yorumlama yapıldıktan sonra bilinen teoremin soruya uyarlanması gereklidir.

Kenarortay Teoremi İspatı

Bir üçgenin herhangi bir köşesinden çizilen ve o köşeye ait  kenarını uzunluk cinsinden iki eşit parçaya ayıran doğru parçasına kenarortay denir. Kenarortayların kesiştiği noktaya o üçgenin ağırlık merkezi denir ve G harfi ile adlandırılır.

Ağırlık merkezi, bir cismin moleküllerine etki eden yerçekimi kuvvetlerinin bileşkesinin uygulama noktası olarak tanımlanabilir. Ağırlık merkezi, Fizikte ve mühendislik hesaplarında işlemlerin basitleştirilmesi için yaygın olarak kullanılır.Homojen yapılı ve simetrik cisimlerde ağırlık merkezi simetri eksenlerinin kesişme noktasındadır. Basit geometrik şekillerin veya basit geometrik şekillere bölünebilen cisimlerin ağırlık merkezleri çizim yolu ile kolaylıkla bulunabilir.

Bir dikdörtgenin ağırlık merkezinin , birbirine dik iki kenarın ortalarını birleştirmek sureti ile çizilen doğruların kesişme noktalarının verdiği simetri merkezi olan "O" noktası, olduğu bir dikdörtgen şekli çizilerek köşegenlerinin kesişim noktasından rahatlıkla görülebilir. Dikdörtgendeki bu nokta aynı zamanda dikdörtgenin köşegenlerinin de kesişim noktası olduğundan köşegenleri tam olarak iki parçaya ayırır.

** Bir üçgende ağırlık merkezi kenarortayı köşe tarafı iki, kenar tarafı bir  olacak şekilde bir oranla böler. Yani bir üçgende ağırlık merkezi G olmak üzere, üçgenin A köşe noktasından çizilen kenarortayın, a kenarını iki eşit parça olarak ayırdığı noktaya F dersek, verilen bu üçgende uzunluklar arasında; |AG|=2|GF| bağıntısı vardır. Aynı şekilde  yandaki çizimden de görülebileceği üzere, |BG|=2|GD| ve |CG|=2|EG| şeklinde ağırlık merkezi, kenarortayı 1/2 şeklinde oranla ayırabilir.

** Bir üçgendeki tüm kenarortayların karelerinin toplamının 4 katı, o üçgendeki bütün kenarların karelerinin toplamının 3 katına eşit olur. Bu ifade üçgende bulunan bütün kenarortaylar için kenarortay teoremi tek tek yazılıp alt alta toplanırsa bu sonuç elde edilir.

** Bir dik üçgende A noktasından hipotenüse ait çizilen kenarortay doğru parçası hipotenüsün yarısına eşittir (Muhteşem üçlü). Bu özellik herhangi bir dik üçgen çizilip bu üçgenin hipotenüsünü çap kabul edecek şekilde bir çevrel çember çizildiğinde kolaylıkla ispatlanabilir.

** Dik üçgende kenarortay teoremi özel olarak uygulanırsa; Bir dik üçgende dik kenarlara ait kenarortaylarının karelerinin toplamı hipotenüse ait kenarortayın karesinin beş katına eşit olarak bulunur.

** Herhangi bir üçgende b ve c kenarına ait kenarortaylar eğer dik kesişiyorsa, bu kenarortayların kareleri toplamı, a kenarına ait kenarortayın karesine eşittir.

** Bir kenar üzerindeki yükseklik ile kenarortayı birleştiren doğru parçası kenarortayın izdüşümüdür. Bu izdüşüm uzunluğuna x, ve üçgenin kenarlarına a,b ve c dersek bu şekilde çizilmiş olan bir üçgende izdüşüm uzunluğu 2.a.x= |b2-c2| formülüyle hesaplanır.

Kenarortay teoremi ispatlanırken üçgenin kenarortayı çizilen kenara ait yükseklik çizilir ve buradan yola çıkarak iki farklı üçgende pisagor bağıntısı yardımıyla eşitlikler yazılır. bu eşitlikler düzenlenerek kenarortay tereomine ulaşılır. Her bir kenar için ayrı ayrı bu eşitlikler yazılabilir. bu yazılan eşitlikler taraf taraf toplandığında da kenarortayın özel teoremi elde edilir.
Kenarortay teoremi ispatı için cosinüs teoreminden de yararlanılabilir. Kenarortayın kenarı kestiği noktada bir açıya x, diğer açıya 180-x yazılırsa ve her iki üçgen için de ayrı ayrı iki defa kosinüs teoremi uygulanıp taraf tarafa toplanırsa kenarortay teoremi elde edilmiş olur.

Açıortay Teoremleri ve İspatı

Verilen herhangi bir üçgende iç açıortay veya dış açıortay çizilmiş olursa buna bağlı olarak özel teoremler yazılabilir. Teoremler yazılırken üçgenlerde benzerlik ilişkisinden yararlanılır.

Açıortay ister iç ister dış açıortay olsun üçgenin köşe noktasından üçgenin kenarına bir paralel çizildiğinde benzer üçgenleri oluşturmak mümkün olur bu benzerlik yardımıyla karşılıklı eş açıların karşılarındaki kenarların birbirlerine orandan özel olarak iç açıortay teoremi ve dış açıortay teoremi bulunur.

Açıortay dikmeleri ile ilgili diğer özellikler için farklı bir konu başlığı altında yazdığımız yazıyı da  inceleyebilirsiniz. (Bkz.Açıortay Dikmeleri)

Secant ve Cosecant Fonksiyonları

Koordinat düzleminde çizilen birim çember için çember üzerinde alınan rasgele bir L noktasından x ve y eksenlerini kesecek biçimde bir doğru çizildiğinde bu doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinat değerine L noktasını ifade eden açının cosec değeri, x eksenin kestiği noktanın apsis değerine de o açının secant değeri denir. Kısaca bu fonksiyonlar şu şekilde ifade edilir. Cosinüs fonksiyonun çarpma işlemine göre tersine secant fonksiyonu denir. (secx=1/cosx) Sinüs fonksiyonun çarpma işlemine göre tersine cosecant fonksiyonu denir. (cosecx=1/sinx)  Bu fonksiyonların tanım kümeleri paydalarında bulunan sinüs ve cosinüs fonksiyonuna göre değişir. Yani secant fonksiyonu paydasında cosinüs olduğundan cosinüsün 0 olduğu, 90 derece ve tek sayı katlarında tanımsız olur. cosecant fonksiyonu da paydasında sinüs olduğundan sinüsün 0 değeri  olduğu 180 derece ve çift katlarında tanımsız olur. Secant ve cosecant fonksiyonlarının görüntü kümeleri ise Reel sayılardır. Çok sık kullanılan bazı açıların aşağıda trigonometrik değerleri verilmiştir.

LYS-Geometri Ünite Dağılımı Analizi (2010-2012)

Geometri alanıdan (LYS-1) sınava girecek öğrencilerin kesinlikle sınavdan çok önce çalışmalara başlamaları gerekmektedir. Ayrıca öğrencilerimizin  bol örnek soru çözümü yapıp çözümlü video örnekleri izleyerek geometri soru çözüm tekniğini kazanmaları LYS'de başarılı olmak için avantaj sağlayacaktır. Geometri de görmek ve düşünerek soru çözmek esastır. Görme tekniğinin gelişmesi de bol soru çözümünden ve uzamsal zekanın mükemmel bir şekilde kullanımından kaynaklanmaktadır. Üç boyutlu düşünme ve derinlemesine görme alıştırmaları yapma, çözümlü geometri  sorularını izleme, çözülmüş soruları tekrar tekrar çözme pratiklik kazandıracağı gibi sınavda daha dikkatli ve hızlı soru çözümü yapmanızı sağlayacaktır.
Çıkmış Geometri soruları incelendiğinde her ünite başlığından yıllara göre soruların değiklik gösterdiği görülmektedir. Detaylıca inceleme yapıldığında bazı ünite başlıklarından her sene soru geldiği gözlemlenir. özellikle son yıllarda yeni eklenmiş konulardan soruların gelme sıklığının arttığı görülmektedir. Klasik geometri soruları üçgenler,çember ve daire ve doğru analitiği her sene devamlı olarak gelmektedir. LYS'de başarı dileklerimizle...

  
 
LYS GEOMETRİ 2010 2011 2012
Doğruda Açılar 0 1 1
Üçgende Açı 2 0 0
Üçgende Açı Kenar Bağıntıları 1 1 0
Diküçgen 0 1 2
İkizkenar-Eşkenar Üçgen 1 0 0
Açıortay 0 1 0
Kenarortay 1 1 0
Üçgende Benzerlik 1 2 0
Üçgende Alan 0 2 0
Çokgenler 1 1 3
Dörtgenler 6 3 5
Çemberde Açı ve Uzunluk 3 6 3
Dairede Alan 1 0 3
Katı  Cisimler 2 3 4
Doğrunun Analitik İncelenmesi 2 2 3
Çemberin Analitik İncelenmesi 1 2 1
Dönüşümler Geometrisi 0 1 1
Vektörler 2 1 2
Geometrik Yer 1 0 1
Konikler (Elips, Hiperbol, Parabol) 2 2 0
Uzay Gometri 2 0 0
Uzayda doğru düzlem denklemleri 1 0 1
TOPLAM 30 30 30

Homoteti Dönüşümleri

M  sabit  bir  nokta,  k  herhangi  bir  reel  sayı  olmak  üzere T= M + k (P – M) olacak biçimde alınan T noktasına P nin M merkezli k oranlı homotetiği ve H : R2→ R2, P → H(P) = M + k (P – M) dönüşümüne M merkezli k oranlı homoteti dönüşümü denir. M merkezli ve k oranlı homoteti kısaca [M, k] biçiminde gösterilir. Verdiğimiz homoteti tanımı kısaca vektörel eşitlik kullanılarak,  k.|MT|= |MP|   olarak gösterilebilir.Bir düzlemsel şekle homoteti dönüşümü uygulandığında elde edilen yeni  şekle, verilen şeklin homotetiği denir.Her durumda homoteti oranına bağlı kalmaksızın M merkezinin homotetiği yine kendisidir.
Aslında hometeti dönüşümlerinde verilen şekil verilen k oranında büyütülür veya küçültülür. verilen k oranı eğer 1 ise şekilde herhangi bir değişme olmaz. Oluşan şekil yine kendisidir. 

Bir homoteti dönüşümünde k homoteti oranı olmak üzere; k = 1 ise şeklin kendisi, 0 < k < 1 ise verilen şeklin k oranında küçültülmüşü, k > 1 ise verilen şeklin k oranında büyütülmüşü elde edilir. Homoteti dönüşümü uzaklıkları aynı oranda değiştirir, açıların ölçülerini korur. Oranları k1, k2 ve merkezi M olan iki homotetinin bileşkesi M merkezli k1 . k2 oranlı homoteti dönüşümüdür.

Kesinlikle dikkat edilmesi gereken şey; hometeti dönüşümünde şeklin açılarınnı ve biçiminin korunmasıdır. Bir düzlemsel şekle öteleme, dönme, yansıma ve homoteti dönüşümlerinin yeteri kadar bileşkesi uygulanarak elde edilen düzlemsel şekle bu şeklin benzeri denir. Benzerlik oranı, kullanılan homotetilerin oranlarının çarpımına eşittir. 

Öteleme, dönme, yansıma dönüşümleri benzerlik oranını etkilemez.


Homoteti dönüşümüne basit bir Örnek vermek gerekirse; Düzlemde bir P noktası ve bir M noktası veriliyor. M noktası merkez ve k = 2, k = 4 ve k = –2 olmak üzere P noktasının Pʹ, Pʺ, Pʺʹ homotetiğini  vektörel eşitliğinden yararlanarak bulalım.

k=2 oranı için|MP’|= |MP'|. 2= 2 |MP|
k=4 oranı için; |MP''|= 4.|MP|  
k=-2 oranı için |MP'''|= -2.|MP|  olarak yazılabilir. Yani burada homoteti dönüşümünden sonra vektör verilen k oranı kadar büyümüştür.

Öğrencilerde İstenmeyen Davranışlar ve Çözüm Önerileri

İstenmeyen Davranışın Ortaya Çıkmaması İçin Kullanılabilecek Stratejiler 
"Öğrencileri Sürekli Olarak İzlemek:Öğretmen ders esnasında gözleri ile sınıfın tümünü gözlemeli, öğrencilerin tümünü görebileceği yerlerde durmalıdır.
Akıcı Etkinlik:Ders planı hazırlanırken sürecin akıcı olmasına, öğrencilere boşkalabilecekleri bir zaman dilimi bırakılmamasına özen gösterilmelidir. Sınıf yönetiminin önemli bir özelliği, sınıf etkinliklerinin kesintiye uğramadan devam etmesini sağlamaktır.
Öğrencileri Motive Etmek ve Motivasyonu Dersin Sonuna Kadar Sürdürmek:Öğrencileri motive etmek için onlara aktif olma fırsatı verilmeli, öğretmen merkezli öğretim yöntemleri terk edilmeli, mümkün olduğunca fazla öğrenciye söz hakkıverilmelidir.
Öğrencilerin İlgilerini Anlamak ve Derse İlgiyi Arttırmak:Öğretmen iyi bir gözlemle öğrencilerinin ilgi düzeylerini keşfetmeye çalışmalı, ilginin dağılması ve sıkılma belirtilerinin görülmesi durumunda güncel bir konuyu tartışmak, mantık ve zeka oyunlarını kullanmak, birkaç dakika serbest faaliyet yapmalarına izin vermek vb. gibi bazı şeyleri kullanarak ilgilerini yeniden kazanmaya çalışmalıdır.
Sınıf Kurallarını Tespit Etmek:Öğretmen, öğrencilerinden beklediği davranışlarla ilgili açıklamalar yapmalı, kurallar koymalı ve bu kuralların neden gerekli olduğu konusunda tatmin ve ikna edici açıklamalar yapmalıdır.
Tutarlı Olmak:Konulan kuralların aynı tutarlılıkla her derste uygulanması gerekir.
İstenmeyen Davranışlar Karşısında Gösterilmesi Gereken Öğretmen Tepkileri 
Sorunu Anlamak:İstenmeyen öğrenci davranışları karşısında, öğretmenin yapması gereken ilk iş, sorunu anlamak olmalıdır. Sorunun doğru bir biçimde anlaşılması, doğru bir yaklaşımla çözülmesi için ön koşuludur. Davranışı anlamak, mevcut sorunların nedenlerini tanımlamanın ötesinde, gelecekte ortaya çıkabilecek istenmeyen davranışların kestirilmesi açısından da gereklidir.
Görmezden Gelmek:İstenmeyen davranış o an için hemen olup bitiyorsa, süreklilik göstermiyorsa görmezden gelinebilir. Ancak öğretmen, görmezden geldiği davranışı pekiştirmekten kaçınmalıdır. Çünkü, istenmeyen bir davranışta bulunan öğrenci, bu davranışının öğretmen tarafından görmezden gelinmesiyle bunun kabul edilebilir bir davranış olduğunu düşünerek aynı davranışı tekrarlayabilir. Öğretmen tekrarlanan bu davranışı da görmezden gelirse, istenmeyen davranışların pekişmesine neden olur. Bu yöntemin dikkatli kullanılması gerekir. Aksi takdirde öğrenci yaptığı yanlış davranışın öğretmen tarafından tasdik edildiği yanılgısına düşebilir. Göz Teması ve Sözlü/Sözsüz Uyarıcılar Kullanmak:İstenmeyen davranışı yapan öğrenciye, davranışının kabul edilemez olduğu çeşitli uyarılarla hissettirilebilir. Öğretmen vücut dilini kullanarak, dokunarak, sözle doğrudan veya dolaylı olarak soru sorarak, söz hakkı vererek veya sözü doğrudan doğruya istenmeyen davranışa getirerek öğrenciyi uyarabilir.
Yeniden Yönlendirmek:Bu yöntem, öğrencinin ne yapıyor olması gerektiğini göstermeyi içerir. Bu, ders dışışeylerle uğraşan öğrenciye direktif verme veya yapılması gereken şeyi hatırlatacak bir ipucu verme şeklinde olabilir. Küçük sınıflarda bazen öğretmen, uygun davranışı överek öğrencileri yeniden yönlendirebilir.
Öğrencinin Yerini Değiştirmek:Düzeni bozan bir öğrenci, istenmeyen davranışı sürdürme olasılığının daha az olduğu bir yere oturtulabilir.
Derste Değişiklik Yapmak:Sınıfta öğretmenin sürekli aynı yöntemleri kullanması, kendinin aktif, öğrencilerin ise pasif olması, dersin sıkıcı bir hal almasına ve öğrencilerin dikkatlerinin dağılmasına neden olur. Dikkati dağılan öğrencilerin istenmeyen davranışlara yönelmesi kaçınılmazdır. Bu yüzden ortaya çıkabilecek istenmeyen davranışlar, dersin işlenişinde, öğretim yöntemlerinde, araç ve gereçlerde değişiklikler
yapılarak ortadan kaldırılabilir.
Sessizlik Zamanı Vermek:Bu yöntem, sınıftaki gürültüyü önlemede ve kontrolü yeniden sağlamada yararlı olabilir. Öğretmen gürültü olduğunda “Şu anda ne yapıyorsanız bırakın” gibi bir cümle kullanabilir. Sessizlik en fazla 2 dakika sürmelidir. Süre dolduğunda öğrencilerin kaldıkları yerden devam etmeleri istenmelidir.
Sorumluluk Vermek:Yapacak bir işi olmadığını düşünen veya işi kendisine ilginç gelmeyen öğrencinin istenmeyen davranışlara yönelmesi doğaldır. Bu durumda ona kendisini meşgul edecek bir iş vermek ya da işini kendisine daha ilginç gelecek başka bir işle değiştirmek, istenmeyen davranışların önlenmesi konusunda yararlı bir yöntemdir.
Sınıf başkanlığı yapmak, araç gereç getirip götürmek, ödevleri kontrol etmek gibi sorumluluklar alan öğrenci kendi davranışını kontrol ederek istenmeyen davranışlara yönelmez. Uygun ve anlamlı etkinliklerle sorumluluk verilen öğrenciler, istenmeyen davranışlara yönelecek zamanı bulamazlar.
Öğrenciyle Bireysel Konuşmak:Yapılan bütün uyarılara rağmen öğrencinin davranışlarında bir değişiklik görülmüyorsa, sorunun öğrenci ile bireysel konuşulmasında yarar vardır. İstenmeyen bir davranış görüldüğünde hemen sıcağı sıcağına öğrenciyle ders içinde veya ders dışında, davranışının nedenleri ve sonuçları hakkında konuşulabilir.
Okul Yönetimi, Aile ve Psikolojik Danışmanı İle İlişki Kurmak:Sorun davranışların boyutlarının büyük olduğu durumlarda öğretmenin okul yönetimi ve PDR bölümü ile işbirliği yapması gerekir."
Kaynakça: * “Sınıfta İstenmeyen Öğrenci Davranışları ve Çözüm Yolları” 
Arş. Grv. Aslı YÜKSEL, Prof. Dr. Mustafa ERGÜN Afyon Kocatepe Üniversitesi Eğitim Fakültesi. 
* “Sınıf Yönetimi”  Prof. Dr. Leyla KÜÇÜKAHMET, Nobel Yayın Dağıtım

Popüler Yayınlar

Sosyal Paylaşım

Icon Icon Icon Icon

Lütfen yazılarımızla ilgili yorum yapmaktan çekinmeyin. Kırık linkleri ve hatalı içerikleri mutlaka bize ilgili sayfa altında yorum yaparak bildiriniz. Blog sayfalarımızda ilginizi çekebilecek diğer yazılar için blog arşivimizi kullanabilirsiniz.

Son Yorumlar

Yararlı Linkler