"Herkes için Matematik"

Herkes İçin Matematik
John Allen Paulos


Yetersiz matematik eğitimi, matematikle ilgili psikolojik engeller ve hayali algılar insanların çoğunu sayı cahili yapmaktadır. Eğer reklamcıların yanlış iddialarına, şarlatan doktorlara ve sahte bilimadamlarına direneceksek, içimizde istatistik konusunda sağlıklı bir kuşkuculuk geliştirmeliyiz. Bu canlı ve espirili kitabında John Allen Paulos matematiğin gücünü gösteren birçok ilginç örneği biraraya getiriyor. Birçok insan sayılarının matematikçilerin uğraşı alanına girdiği kanısındadır. Oysa günlük yaşamında matematiği kullanan her insan, bunun yararını görecektir. Borsa stratejileri, eş seçimi, fal, diyet ve tıbbi iddialar, terörizm riski, astroloji, spor rekorları, seçimler, cins ayrımcılığı, UFO’lar, parapsikoloji, piyangolar ve ilaç testleri gibi güncel konulara matematik açıdan bakmak onları algılayışımızı değiştirecektir. Herkes İçin Matematik’i okumak matematik ve sayılardan hoşlanmayanlar için olduğu kadar matematik meraklıları için de ufuk açıcı olacaktır.

Yeni Matematik Öğretim Programı Vizyonu

"Bu program; matematik eğitimi alanında yapılan millî ve milletler arası araştırmaları,gelişmiş ülkelerin matematik programlarını ve ülkemizdeki matematik eğitimi deneyimlerinitemel alarak hazırlanmıştır. Matematik öğretim programının vizyonu “Her öğrencimatematiği öğrenir.”olarak kurgulanmıştır. Özellikle ortaöğretim düzeyinde ele alınan birçokmatematiksel kavram, doğaları gereği soyut bir nitelik taşımaktadır. Bu sebeple zaman zamanöğrencilerin bu kavramları yapılandırmada güçlüklerle karşılaştıkları bilinmektedir. Bugüçlüğü ortadan kaldırmak için matematik öğretim programında ele alınan kavramlar, somutve sonlu hayat modellerinden yola çıkılarak ele alınmıştır. Böylece programdaki esas vurgu,işlem bilgilerinden, kavram bilgilerine kaymıştır.
Program bir yandan öğrencilerin matematiksel kavramları yapılandırmalarını sağlayacak uygun öğrenme ortamları tasarlanmasına vurgu yaparken bir yandan da temel matematiksel beceriler olan akıl yürütme, problem çözme, ilişkilendirme, iletişim ve modelleme gibi becerilerin geliştirilmesini hedef almaktadır. Bunun yanında program,öğrencilerin bağımsız düşünme, analitik düşünme, eleştirel düşünme, öz denetim gibi bireysel yetenek ve becerilerinin geliştirilmesini arzu etmektedir. Bunun içinde, program, öğrenciyi merkeze alan matematiksel kavramları ve temel becerileri keşfedici bir ortamdayapılandırabilecekleri zengin öğrenme ortamları tasarlanmasına özellikle önem vermektedir.

Matematik öğrenme süreci temel matematiksel kavramların kazanılmasından çok dahafazlasını içermektedir. Matematiksel düşünme, problem çözme, ilişkilendirme, matematiği bir iletişim dili olarak kullanabilme ve modelleme becerileri matematik öğrenme ve yapma süreçlerinin temel elemanlarıdır. Bu becerilerin, öğretmenin matematiğinin taklit edildiği, matematiksel kuralların sebeplerinin irdelenmeden ezberlendiği ortamlarda gelişmesi mümkün değildir. Bu bağlamda program matematik sınıflarını matematiğin sunulduğu değil matematiğin yapıldığı aktif öğrenme ortamlarına dönüştürülmesini hedeflemektedir.
Bu kapsamda program öğretmenlere açıklayandan çok yol göstericilik, öğrencilere ise dinleyenden daha çok sorgulayan rollü biçmektedir.Hızlı değişimlerin yaşandığı dünyamızda, tasarlanan öğretim programı ile öğrencilerimizin bugünü ve geleceği keşfetmede ihtiyaç duyacakları matematiksel bilgi,düşünme, beceri ve tutumlarını geliştirmeleri, karşılaştıkları günlük yaşam problemlerini matematiksel akıl yürütme yolları ile çözebilmeleri, matematiği günlük yaşam ve diğer disiplinlerle ilişkilendirebilmeleri hedeflenmiştir. Bunun yanında temel matematiksel becerileri gelişmiş, kendisi ve toplumu ile barışık, tarafsız düşünebilen üretken bireylerinyetiştirilmesi amaçlanmaktadır."
http://ttkb.meb.gov.tr/program.aspx?islem=1&kno=86

En güncel öğretim programları için Talim ve Terbiye Kurulu sitesini ziyaret ediniz. http://ttkb.meb.gov.tr/

"Matematik Öğretim Programı" değişti

SAYI: 121 TARİH: 24.08.2011 KONU: Ortaöğretim Matematik Dersi (9, 10, 11 ve12. Sınıflar) Öğretim Programlarında DeğişiklikYapılmasına Dair Program ile Ortaöğretim 10, 11 ve12. Sınıflarda Haftada 2 Ders Saati Süreli Matematik Dersi Öğretim Programları

ÖNCEKİ KARARIN SAYI: 200 TARİH: 14.07.2005

Başkanlığımızca oluşturulan komisyon tarafından hazırlanarak Kurulumuzda görüşülen Ortaöğretim Matematik Dersi (9, 10, 11 ve 12. Sınıflar) Öğretim Programlarında değişiklik yapılmasına dair program ile bu programa göre hazırlanan Ortaöğretim 10, 11 ve 12. Sınıflarda Haftada 2 Ders Saati Süreli Matematik Dersi Öğretim Programlarının 2011-2012 Öğretim Yılından itibaren uygulanmak üzere ekli örneklerine göre kabulü,

Söz konusu program değişikliklerinin;
1. Ders kitaplarına yansıtılması,
2. Yansıtılma işlemi yapılan ders kitaplarının 30 Aralık 2011 Cuma günü mesai bitimine kadar Başkanlığa teslim edilmesi,
3. İncelemesi devam eden taslak ders kitaplarına yansıtılmasının ise inceleme işlemlerinin bitiminde ilgililerden istenmesi,

2011-2012 Öğretim Yılına mahsus olmak üzere mevcut ders kitaplarının, zümre öğretmenler kurulunca öğretim programlarında yapılan değişikliklere ve Ortaöğretim 10, 11 ve 12. Sınıflarda Haftada 2 Ders Saati Süreli Matematik Dersi Öğretim Programlarına uyarlanarak kullanılması kararlaştırıldı.

Merdan TUFAN
Kurul Başkan V.

Ömer DİNÇER
Millî Eğitim Bakanı
 
Değişiklikler ve Öğretim Programı için tıklayınız.
http://ttkb.meb.gov.tr/program.aspx?islem=1&kno=86

En güncel öğretim programları için Talim ve Terbiye Kurulu sitesini ziyaret ediniz. http://ttkb.meb.gov.tr/

John Forbes Nash

John Forbes Nash, 13 Haziran 1928’de Batı Virginia, Amerika’da dünyaya geldi. Oğluyla aynı adı taşıyan baba John Nash, Teksas A&M Üniversitesi mezunu bir elektrik mühendisi, annesi Margaret Virginia Martin ise bir Latince ve İngilizce öğretmeniydi, Batı Virginia Üniversitesi mezunuydu. 16 Kasım 1930’da kız kardeşi Martha doğdu. İlkokuldan önce anaokuluna kaydolan Nash, henüz çocukken Compton’s Picture Encyclopedia adlı resimli ansiklopediyi okuyor ve birçok şey öğreniyordu. Time Dergisi de ilgisini çekiyordu. Mutlu bir çocukluk geçirdi.

12 yaşındayken evde kendi kendine deneyler yapmaya başladı. O zamanlarda da insanlarla çalışmayı değil, kendi kendine olmayı sevdiği belliydi. Kız kardeşi normal bir çocuktu ancak Nash diğer çocuklardan çok farklıydı, onların oyunları, şakaları Nash’e garip geliyordu, kısa sürede kendini herkesden soyutlamıştı. Annesi ve babası, Nash’in kitap merakını gördükleri için ona bir yetişkin gibi davranmaya, eğitimini teşvik etmeye başladılar. Nash’in matematik sevdasını ortaya çıkaran eser, lise yıllarında okuduğu, E.T. Bell’in “Men of Mathematics” adlı kitabı oldu. Lisede okuduğu sırada Bluefield College adlı üniversiteden dersler almaya başladı. Liseyi bitirdikten sonra Westinghouse bursuyla Carnegie Institute of Technology adlı üniversiteye kaydoldu, bölümü ise kimya mühendisliğiydi. Ancak Nash bu bölümden ayrılarak kimya bölümüne, daha sonra da matematiğe geçti. 1948 yılında hem lisans, hem de master derecesini aldı. Mezun olduktan sonra bir donanma projesi üzerinde çalışmaya başladı.

Nash bir süre sonra “Denkleştirme Kuramı” üzerine çalışmak amacıyla Princeton Üniversitesi’ne gitti. Hem Princeton’dan hem de Harvard Üniversitesi’nden teklif gelmişti ancak ailesinin yaşadığı yer olan Bluefield’a yakınlığı ve akademisyenlerinin Nash’e gösterdiği ilgi sayesinde, Princeton’a gitmeyi tercih etti. 1950 yılında doktorasını buradan aldı. Doktora tezi, daha sonra “Nash Dengesi” adını taşıyacak olan, “Oyun Teorisi”nin en önemli parçalarından olan bir çalışmaydı. Bu çalışması 3 makaleyi beraberinde getirdi; “Equilibrium Points in N-person Games” (1950), “The Bargaining Problem” (1950) ve “Two-person Cooperative Games” (1953). Ayrıca cebirsel geometri alanında önemli çalışmalar yaptı. 1951’de Massachusetts Institute of Technology’de (MIT) öğretmenlik yapmaya başladı. 1959’da bu görevinden istifa etti.1998 tarihli John Nash biyografisi “A Beautiful Mind”, Nash’in homoseksüel ilişkilerinden bahsediyordu. Üniversite yıllarından itibaren bunu saklamamıştı ve çevresi tarafından hor görülmemişti. Kitabın yazarı, Nash’in üniversitedeki erkek arkadaşlarıyla toplantı odasında öpüştüklerini ve bu tip davranışlardan çekinmediğini anlatıyordu. Ancak üniversite sonrası devlet işlerinde çalışırken bu durumu kabul görmemişti, hatta “uygunsuz davranış” nedeniyle tutuklanmış ve işinden kovulmuştu. Eşi Alicia’yla yapılan bir röportajda Alicia, Nash’in homoseksüel ya da biseksüel olmadığını söylemişti ancak Nash bunu hiçbir zaman açık bir şekilde reddetmedi.

Nash, 1958 yılında şizorfeni belirtileri göstermeye başladı. Ancak Princeton’da geçirdiği 4 yıl boyunca (1945 – 1949) kayıtlarda yalnız yaşadığı görünse de, bir oda arkadaşının olduğunu düşünüyordu. 1959 yılında yatırıldığı hastanede kendine güvensizlik, depresyon ve paranoyak şizofreni tanıları kondu. Paris ve Cenevre’de bir süre yaşadıktan sonra 1960’ta Princeton’a geri döndü, 1970’e kadar birçok kez hastaneye yattı. Bu yıllarda ilaç tedavisini kesmeye karar verdi. Biyografisinin yazarı Sylvia Nasar’a göre yavaş yavaş iyileşmeye başladı, bu süreçte eşi de ona büyük destek verdi. Nash, çalışmalarının karşılığını almaya 1978 yılında başladı. Bu yıl “John Von Neumann Teori Ödülü”nü, 1994’te ekonomi dalında Nobel Ödülü’nü, 1999’da “Leroy P. Steele Ödülü”nü aldı.2001 yapımı “A Beautiful Mind” (Akıl Oyunları) adlı film, John Nash’in hayatından esinlenilerek yapıldı ve film 4 Akademi Ödülü kazandı. Senaryo, aynı adlı biyografi üzerine yazılmıştı. Ancak bu biyografi ve Nash’in gerçek hayatı arasında örtüşmezlikler vardı.

Massachusetts Institute of Technology’de, El Salvador’lu bir fizik öğrencisi olan Alicia Lopez-Harrison de Lardé ile tanıştı. İkili Şubat 1957’de evlendi. 1959 yılında eşi Nash’i şizofreni tedavisi için akıl hastanesine yatırdı. Bu olaydan hemen sonra oğulları John Charles Martin dünyaya geldi ancak 1 yıl kadar ismi konulmadı çünkü Alicia, eşinin de bu konuda bir fikir vermesini istemişti. John Martin de babası gibi bir matematikçi oldu ve sonraları ona da şizofreni teşhisi kondu. Nash, Eleanor Stier’den 19 Haziran 1953 doğumlu bir çocuğa daha sahipti ancak ne annesiyle ne de çocuğuyla yakın ilgisi oldu. Alicia Lopez- John Nash çifti 1963’te boşandı ve 1970’te tekrar biraraya geldi. Bu tarihten itibaren darılıp barışan çift, kendileri hakkında “aynı çatı altındaki iki yabancı” benzetmesini yapmıştı. Nash 1994’te Nobel Ödülü’nü kazandıktan sonra aralarını düzelttiler ve 1 Haziran 2001’de tekrar evlendiler.Nash, 1945 ve 1996 yılları arasında 23 bilimsel çalışma yayınladı, ayrıca “Essays on Game Theory” (1996) ve “The Essential John Nash” isimli kitapları yazdı. Aynı zamanda “Hex” ve “So Long Sucker” adlı 2 popüler oyunu da üretti.

2011-2012 Eğitim Öğretim Yılı Matematik ve Geometri Dersi Ünitelendirilmiş yıllık Planları

2011-2012 Eğitim Öğretim yılıl 9.sınıf Matematik ve Geometri Dersi Ünitelendirilmiş yıllık Planları

9.Sınıf Matematik Geometri Planları


2011-2012 Eğitim Öğretim yılıl 10.sınıf Matematik ve Geometri Dersi Ünitelendirilmiş yıllık Planları
10.sınıf Matematik Geometri Planları

2011-2012 Eğitim Öğretim yılıl 11.sınıf Matematik ve Geometri Dersi Ünitelendirilmiş yıllık Planları
11.sınıf Matematik Geometri Planları

2011-2012 Eğitim Öğretim yılıl 12.sınıf Matematik ve Geometri -Analitik Geometri Dersi Ünitelendirilmiş yıllık Planları

12.Sınıf Matematik Geometri Planları



Burada yer alan ünitelendirilmiş yıllık planlar, 2551 Sayılı Tebliğler Dergisi “Millî Eğitim Bakanlığı Eğitim ve Öğretim Çalışmalarının Plânlı Yürütülmesine İlişkin Yönerge”, Talim ve Terbiye Kurulunun 330 sayılı, 30.12.2010 tarihli “Ortaöğretim Geometri Dersi (9-10-11. Sınıf) Öğretim Programı 24.08.2011 tarih ve 121 sayılı Kararı “Ortaöğretim Matematik (9-10-11-12. Sınıflar ) Dersi Öğretim Programı” ve Ortaöğretim Matematik 10, 11 ve 12. Sınıflarda Haftada 2 Ders Saati Süreli Matematik Dersi Öğretim Programları” dikkate alınarak, 2104-2488 sayılı T.D’ nin Atatürkçülük konuları ile ilgili yayımlar esas alınarak yapılmıştır 
“,Ve 2104-2488 sayılı T.D nin Atatürkçülük konuları ile ilgili yayımlar esas alınarak yapılmıştır.


2104 Sayılı Tebliğler dergisi “ İlköğretim ve Ortaöğretim Kurumlarında Atatürk İnkılap ve İlkelerinin Öğretim Esasları Yönergesi “ gereğince matematik derslerinde konuların ilgisine göre yeri geldikçe:
a. Atatürk'ün "Bilim ve Teknik İçin Sınır Yoktur" özdeyişinin, günümüzdeki uzay çalışmaları örnek verilerek, anlamının büyüklüğü ve önemi üzerinde durulmalıdır.
b. Yine Atatürk'ün "Hayatta En Hakiki Mürşit İlimdir" özdeyişinin bilimin hızla geliştiği bu çağdaki etki alanı ve önemi açıklanmalıdır.
c. Atatürk'ün Bilim ve Fende, Fen 'in uygulaması olan tekniğe ne kadar önem verdiğini ifade eden Bursa nutuklarındaki "Hakiki Rehberimiz İlim ve Fen Olacaktır. " şeklindeki sözleri üzerinde durulmalıdır.
ç. Atatürk'ün "İstikbal Göklerdedir" sözünün anlamı belirtilmeli; Atatürk'ün Fen ve teknikten soyutlanamayan hava gücüne, dolaylı da olsa bu gücün dayandığı Fen ve Tekniğe verdiği önem açıklanmalıdır.
d. Atatürk zamanında kurulan Fabrikalar ve fen kuruluşlarının, 0'nun Fen ve Tekniğe dayanan sanayiye verdiği önemin açık bir kanıtı olduğu ve bunların önemi belirtilmelidir.
e. Osmanlılar döneminde kullanılması güç olan arşın, dirhem, okka gibi uzunluk ve ağırlık birimleri ile ölçü sistemleri yerine daha kolay kullanılır, pratik metrik sistemin, gram ve kilogram ölçülerinin konulmasının Atatürk'ün emirleri ile gerçekleştirildiği açıklanmalı ve bunların önemine değinilmelidir.
f. Fizik, Kimya, Biyoloji derslerinin ve bütün Fen Bilimleri ve Matematiğin öğretiminde kullanılan, yüzlerce anlaşılması güç Arapça ve Osmanlıca terimlerin, Atatürk'ün direktifleri ile Türkçeleştirildiği anlatılmalı, aradaki büyük öğrenim kolaylığına öğrencilerin dikkati çekilmelidir.

Fraktal Örnekleri




Daha fazla fraktal örneği için şu adresi ziyaret edebilirsiniz.... http://www.enchgallery.com/fractals/fracthumbs.htm

Benoit Mandelbrot'un Hayatı

Benoit Mandelbrot büyük ölçüde fraktal geometrisi mevcut faiz sorumluydu. Ne kadar Fraktaller hem matematik hem de başka yerlerde doğada birçok farklı yerde oluşabilir gösterdi. Mandelbrot Polonya 1924 yılında bir aile içine bir çok akademik geleneği doğdu. Babası ise hayatını satın alma ve satış giysi annesi bir doktor olarak yaptı. Genç bir çocuk olarak, Mandelbrot matematik yaptığı iki amcam tarafından tanıtıldı.

Mandelbrot ailesi Fransa'ya 1936 yılında ve amcası Szolem Mandelbrojt eden Matematik Profesörü Collège de France ve sonrası A. Edison ve halefi, onun eğitim sorumluluğunu üstlenmesinden olarak göç etti. Aslında beri Hardy büyük bir hayran ve Hardy 'matematik felsefesi neydi Szolem Mandelbrojt etkisi hem olumlu hem de olumsuz olarak olarak. Olarak Mandelbrot kendisi söylüyor olsa, şimdi nasıl Hardy 'derin ona uygulamalı matematik, yanlış ellerde, kötülük için savaş zamanında kullanılmış olabilir korkusu yapılan pasifizm hissetti s anlar Bu, saf matematik Mandelbrot karşı bir tepki getirdi.

Mandelbrot Paris kadar II Dünya Savaşı başlamadan zaman ailesi Tulle merkezi Fransa'da taşındı Lisesi'nde Rolin katıldı. Bu Mandelbrot için olağanüstü zorluk olan birçok vesileyle hayatını kurtarmak için korkulan bir zaman oldu. Onun eğitimi bu yıl Aslında vurguladı oldu: Savaş, yoksulluk sürekli tehdit ve gerek okul ve kolej onu uzak tutulması hayatta ve o büyük ölçüde kendi kendini muhteşem "ortaokul öğretmeni" olarak tanımaktadır rağmen öğretti.
Mandelbrot şimdi bu alışılmamış eğitim çok onun başarı atfedilir. Onu yollarla birisinin için kim, geleneksel eğitim yoluyla, güçlü standart şekillerde düşünmeye teşvik zor olabileceğini düşünmeye izin verdi. Aynı zamanda onu matematik için bir çok geometrik yaklaşım geliştirmek, izin ve onun olağanüstü geometrik sezgi ve vizyon onu matematiksel sorunlar benzersiz kavrayışlar vermeye başladı.
Lyon'da okuduktan sonra, Mandelbrot Paris Ecole Normale girdi. Bu bir defa herkesin orada çalışma olacaktı kısa boyları idi, çünkü sadece bir gün sonra bıraktı. Ecole Polytechnique ve giriş sınavlarında çok başarılı performans sonra, Mandelbrot 1944 yılında çalışmalarına başladı. Orada Paul Lévy eden başka bir güçlü Mandelbrot etkisi oldu yönetimi altında inceledi.
Ecole Polytechnique çalışmalarını tamamladıktan sonra, Mandelbrot ABD orada California Institute of Technology ziyaret etti. Sonra Doktora Paris Üniversitesi tarafından verilen, o Institute for Advanced Study için Princeton orada John von Neumann tarafından desteklenen başladı.

Mandelbrot Fransa 1955 yılında döndü ve Centre National de la Recherche Bilimsel çalıştı. O Fransa ve Cenevre bu süre içinde geri Aliette Kağan evlendi, ama orada çok uzun Amerika Birleşik Devletleri dönmeden önce kaldım. Clark bu zamanda, Fransa'da matematik tarzı ile onun mutsuzluk için neden verdi:
Hala derin istatistiksel mekanik ve matematiksel dilbilim ve standart olmayan yaratıcı fikirler dolu onun bilimsel değil zevke ve Bourbaki ve Fransızca temel okulun büyük egemenliği bulunan daha egzotik formları ile ilgili 1958 de Türkiye için kalıcı ve sol başlayan uzun ayakta ve dünyaya bir IBM Fellow olarak IBM ile en verimli işbirliği New York Eyalet Yorktown Heights ünlü laboratuvarları.
IBM, kendisine farklı fikirleri çok çeşitli keşfetmek için izni olan bir çevre ile Mandelbrot sundu. Ne kadar IBM bu özgürlük tarifi kendisinin yaptığı araştırma almak istedim seçmek için hiçbir üniversite sonrası kendisine verilen bu olabilir bir fırsat sundu ona has spoken. IBM'den emekli olduktan sonra Yale Üniversitesi'nde benzer olanakları orada anda Sterling Profesör Matematiksel Bilimler öğrendim.
1.945 Mandelbrot amcası yılında Julia '1.918 kağıt önemli bunun bir başyapıt ve ilginç sorunların potansiyel bir kaynak olduğunu iddia s tanıştırdı, ama Mandelbrot didn't like it. Gerçekten de çok kötü bir şekilde öneriler amcasının seyis yarattığı karşı o matematik onun bütün tutum böylece amcasının farklı hissettim tepki verdi. Mandelbrot onun yerine çok farklı tabii olan, ancak, Julia '1970'lerde kağıt s birçok farklı bilimler üzerinden bir yol sonra onu geri getirdi kendi seçmesi, yüksek bireysel veya göçebe bazı karakterize. Mandelbrot tarafından karar birçok farklı bilim dalları katkıda bulunmak için Aslında çok bilinçli bir genç yaşta alınmıştır. Nasıl o kadar çok alanda bu olağanüstü başarı ile bu hırsla yerine getirmek için mümkün olduğu dikkat çekicidir.

Fraktal Geometrinin Güncel Hayattaki Faydası

Bu özel geometri dalı ilk ortaya çıktığı yıllardan beri araştırıcıların hızla ilgisini çeken bir bilim alanı olmaya devam ediyor. Bu ilginin en önemli nedeni, fraktallarla doğal biçimler arasındaki benzerliğin sadece görsel bir benzeşimin çok ötesinde olmasıdır aslında. Doğadaki bir çok biçimin bazı basit fraktal kurallarla kısmen yahut tamamen ifade edilebiliyor olması, bu basit kurallarla doğal biçimlere benzer yapıların bilgisayarlarca oluşturulabilmeleri, araştırıcıları bu alanın derinliklerine doğru kafa yormaya sevkediyor. Doğadaki biçimlerin oluşumlarını inceleyen morfogenez biliminin şu anda en önemli ayaklarından birisini, fraktal geometri ile doğadaki biçimler arasındaki benzerlikleri araştırarak, özellikle canlılardaki karmaşık biçim oluşumlarının şifresini çözebilme çabası oluşturmaktadır.

Fraktal geometri ayrıca fraktal analiz olarak adlandırılan yeni bir ölçüm yöntemleri dizisinin de bilim gündemine girmesini sağladı. Sadece biçimlerin değil, süreçlerin de karmaşıklıklarını ölçmek için kullanılan fraktal analiz ve dekompozisyon teknikleri, doğada karşımıza çıkan biçimlerin ve olayların karmaşıklık düzeylerini sayısal halde izleyip inceleyebilmek için bize yeni yöntemler sunmakta. Örneğin, mikroskop altında incelediğimiz, hücreler gibi doku bileşenlerinin çeşitli nedenlerle uğradıkları biçimsel değişiklikleri artık bir de “fraktal boyutlarını” hesaplayarak sayısallaştırabiliyoruz. Veya beyin aktivitesi sırasında kaydedilen elektroensefalogram (EEG) sinyallerinin benzer yöntemlerle analiz edilmesi, bize kaydedilen aktivitelerin karmaşıklık düzeyi ve altında yatan nedenler konusunda yepyeni fikirler sunuyor. Kısacası, fraktal geometri bu gün, her alanda kullanılan ve gelecekte gittikçe de gözde hale gelecek bir alan olma özelliğini koruyor.

Mandelbrot Fraktalları ve Kesirli Boyut

Mandelbrot’un fraktalleri ise, “kesirli” boyutlara (fractal dimensions) sahip olmaları açısından, geleneksel geometriden kökten farklı bir yapı sergiler. Matematiğe çok girmeden bunu şöyle örneklendirebiliriz: Elinizde bir sayfa kağıt olduğunu ve bunun iki boyutlu olduğunu düşünün (aslında kağıt, kalınlığı da olan üç boyutlu bir nesnedir ama, şimdilik kalınlıksız iki boyutlu bir yüzey düşünüyoruz). Kağıdı elinizde o kadar çok buruşturup sıkıştırıyorsunuz ki, artık son derece karmaşık hale gelmiş bu iki boyutlu yüzeyi ‘iki boyutlu’ olarak nitelemek gittikçe imkansızlaşıyor. Üç boyutlu olduğunu da iddia edemiyorsunuz, zira elinizdeki ne kadar buruşmuş olursa olsun, iki boyutlu bir yüzeydir aslında. Dolayısıyla, buruşma miktarı arttıkça, 2.05, 2.28, 2.4 gibi kesirli boyutlara sahip bir yüzey şekli elde etmeye başlarsınız. İşte fraktallerdeki kesirli boyut kavramı da buna benzer bir karmaşıklığın neticesinde ortaya çıkar. Aslında doğada hakim olan geometri de işte bu ‘fraktal geometri’dir…
Doğadaki biçimler gerçekten de geleneksel geometrinin bize öğrettiğinden çok farklıdır. Geleneksel (Euklid’çi) geometri daha ziyade idealize edilmiş soyutlamalardan oluşurken, tabiattaki biçimler çok daha karmaşıktırlar. Yerküreyi 6-7 kez dolaşabilecek kan damarlarını ve bir tenis kortu kadar alan kaplayan akciğer hava keseciklerini bu küçücük vücudumuza; açıldığında 2 metreyi aşkın bir uzunluğa erişen DNA molekülümüzü 100 trilyon hücremizin her birindeki bir kaç mikrometrelik (milimetrenin binde biri) çekirdeğin içine paketlenmesinin ardında, işte bu ‘fraktal’ kurallar yatmaktadır…
Fraktal özelliklere sahip bir geometrik şekli evinizde kendi başınıza elde etmenin bu gün için en kolay yolu, internette rahatlıkla bulunabilen hazır bilgisayar programlarından birisini kullanmaktır (örneğin: Fractal Explorer). Zira her ne kadar basit olursa olsun, bir ‘fraktal’ ortaya çıkarmak, matematiksel bir dizi işlem serisi (iterasyonlar) gerektirir ki, bu tekrarlayan işlem serileri, tam da bilgisayarlara göre bir iştir. Örneğin Mandelbrot Kümesi aslında, ‘karmaşık sayılar’ı da içeren ve kendi sonucunu her tekrarda ‘giriş verisi’ olarak kullanan bir iterasyon, yani tekrar tekrar hesaplama işlemidir. Bu hesaplama sonucu elde edilen kapalı noktalar kümesi, alanı sonlu, fakat kenar uzunluğu sonsuz bir küme olarak tüm fraktallerin –tabir yerindeyse- atasıdır.

Fraktallerin bir başka çarpıcı özelliği, doğada çokça rastladığımız ‘kendine benzeme’ (self similarity) özelliğidir. Herhangi bir iterasyon dizgesi ile oluşturulan bir fraktal biçim, aynı matematiksel formül çekirdeğinin defalarca üst üste tekrarlanması ile ortaya çıktığından, ana kümenin şekli, küme kenarlarının mikroskobik detaylarında dahi benzer görünüm ve biçimlerde tekrarlanır.

Fraktal Geometrinin Tarihçesi

Her şey, Benoit Mandelbrot’un kafasında oluşan ve aslında basit gibi görünen bir soru ile başladı: İngiltere’nin kıyı uzunluğu ne kadardır? Yanıtı bulmak için yapılabilecek ilk şey, ölçeği belli bir harita bulduktan sonra, buradan kıyı şeridinin uzunluğunu, sözgelimi bir iple ölçmek ve sonucu haritanın ölçeğiyle çarparak, kıyı uzunluğunu hesaplamak olabilir. Peki, kıyı şeridinin uzunluğu ‘gerçekte’ ne kadardır? Kıyı şeridinin uçaktan çekilmiş bir dizi fotoğrafı ile daha doğru bir ölçüm yapabilirsiniz; şüphesiz bu değer, harita üzerinde hesaplanandan biraz daha büyük çıkacaktır. Biraz daha ileri gidip, tüm kıyıyı adım adım ölçtüğünüzü düşünelim; bu durumda ne kadarlık bir uzunluk hesaplayabilirsiniz? Peki ya tüm uzunluğu milimetrik bir cetvelle ölçebildiğinizi düşünün; hatta moleküler boyulara kadar uzanan hassas bir uzunluk ölçümü yapabildiğinizi… Sonuçta, ölçümlerinizi hassaslaştırdıkça, kıyı uzunluğunun sonsuza gittiğini farkedeceksiniz. Sonlu bir kara parçasının sınırları, aslında sonsuz uzunluktadır! Bu basit ve çarpıcı sonuç, Benoit Mandelbrot gibi bir matematikçinin elinde, ‘fraktal geometri’ dediğimiz yeni bir matematik dalının temellerinin atılmasını sağladı.
Mandelbrot, tabiattaki biçimlerin matematiğini keşfeden ve buna latince ‘kırıklı’ anlamına gelen ‘fractus’ sözünden türettiği ‘fractal’ adını veren kişidir. Kendisinin tanımladığı (yahut kendi ifadesiyle, keşfettiği) ünlü ‘Mandelbrot Kümesi’, belki de dünyanın en meşhur geometrik şekillerinden birisidir. Mandelbrot aslında fraktal dünyanın ilk kaşifi değildir. Ondan neredeyse bir yüzyıl kadar önce matematikçi Gaston Julia, 1. DÜnya Savaşında yaralanmasının ardından hastanede geçirdiği uzun ve acılı günlerde, bu gün Julia kümesi olarak bildiğimiz ilk fraktal geometrik kumeyi tanımlamıştır. Elbette Julia, defalarca tekrarlayan işlemleri hızlıca gerçekleştirebilen bigisayarların icadından yıllar önce, kuramsal olarak keşfettiği bu geometrik biçimi tam olarak görme şansına sahip değildi. Defterlerinin arkasına yaptığı bir kaç çizimle fraktal geomtrinin ilk esaslarını ortaya koymuş, fakat bu yeni geometrinin harika dünyasına tam olarak tanıklık edemeden bu dünyadan ayrılmıştı. Yıllar sonra Mandelbrot’un, Julia kümesinin de türetilebildiği ana fraktal biçim olan o meşhur Mandelbrot Kümesi’ni keşfi de zaten bilgisayarların bu gün bildiğimiz şekliyle kullanıma girmesi sonucu mümkün oldu. Çünkü fraktal geometri milyonlarca kez tekrarlanan işlemlerle elde edilebilen çok karmaşık geometrik biçimlerden oluşur ve bunları elle yapmanın imkansızlığı ancak bilgisayarlar hayatımza girdikten sonra anlaşılabilmiştir.
Fraktal geometri, bildiğimiz Euklid (Öklid) geometrisinden oldukça farklıdır. Euklid geometrisi, okullarda okuduğumuz, üniversite sınavlarında karşımıza çıkan sıfır, bir iki ve üç boyutlu geometrik şekillerle ilgilenir. Bu şekillerin genellikle gerek dünyada tam olarak bir kaşılıkları yoktur ve çoğunlukla idealleştirmelerden ibarettirler (gerçek dünyada kalınıksız bir kağıt, yahut boyutsuz bir nokta görme olasılığımız yoktur).

Güncel Hayattan Fraktal Geometri Örnekleri

Fraktal geometri, bildiğimiz Euklid (Öklid) geometrisinden oldukça farklıdır. Euklid geometrisi, okullarda okuduğumuz, üniversite sınavlarında karşımıza çıkan sıfır, bir iki ve üç boyutlu geometrik şekillerle ilgilenir. Bu şekillerin genellikle gerek dünyada tam olarak bir kaşılıkları yoktur ve çoğunlukla idealleştirmelerden ibarettirler (gerçek dünyada kalınıksız bir kağıt, yahut boyutsuz bir nokta görme olasılığımız yoktur).









Mandelbrot ve Fraktal Geometri

İnternette bir yerlerde mutlaka karşınıza çıkmıştır; görüntüyü ne kadar büyütürseniz büyütün birbirini tekrarlayan, iç içe, ilk baştaki görüntünün aynısı olan şekillerin bulunduğu "fantastik" fraktaller... Görsel ve sanatsal izdüşümlerinin dışında asıl olarak matematik ve fizikte büyük öneme sahip olan bu yapıların en ünlüsü olan Mandelbrot kümelerinin "babası" Benoit Mandelbrot geçtiğimiz hafta vefat etti. Uzun ve verimli bir bilim kariyerinin ardından 85 yaşında kansere yenik düşen Mandelbrot kendi alanında son 30 yılın en etkili insanlarından biriydi diyebiliriz. Ölümüne istinaden, şöhretini borçlu olduğu fraktal yapıları ve Mandelbrot kümeleri hakkında birşeyler karalayım istedim.
Mandelbrot, frakteller konusunda efsanevi kitap olarak tanımlanabilecek "The Fractal Geometry of Nature" kitabını şu cümlelerle açıyor :"Neden geometri çoğu zaman 'soğuk' ve 'yavan' olarak tanımlanır ki? Böyle olmasının bir nedeni bir bulutun, bir dağın, bir sahil şeridinin ya da bir ağacın şeklini tarif edememesidir. Ne bulutlar küre, dağlar koni, sahil şeritleri çember şeklindedir, ne de yıldırım dümdüz doğru boyunca hareket eder."

Mandelbrot'un işaret etmeye çalıştığı doğada gözlediğimiz şekillerin hiçbirinin Öklid'in zamanından miras geometride kullandığımız , idealize edilmiş düzgün şekillerde olmadığı. Örneğin bir ağacın dallarının oluşturduğu şekiller, bir kümülüs bulutunun sınırını ya da bir tepenin şeklini belirleyen çizgiler düzgün olmaktan çok girintiler çıkıntılarla doludur. Doğada bunun birçok örneği var ve görüyoruz ki doğa bizim ideal geometrimizden farklı olarak oldukça "pürüzlü". "Pürüzlü" bir cisime basit bir örnek olarak Koch kartanesini verebiliriz.
Eşkenar bir üçgen alıp her kenarını üçe bölüp ortadaki üçte birlik kısımdan yeni bir eşkenar üçgen üretelim ve bunu oluşan bütün kenarlar için sonsuza kadar tekrarlayalım. İlk dört adımı yukarıda verilen şeklin sonsuz adımda oluşan halindeki herhangi bir üçgene yakınlaştığınızda ilk baştaki şeklin aynısını bulacaksınız.. Sonsuza kadar kendini tekrar eden bir geometri...

Fraktal ile normal örüntü arasındaki fark nedir?

Fraktallar da bir çeşit örüntüdür.Fakat daha önce gördüğümüz örüntülerden farklıdır.

Fraktallar virüs gibidir, her bir parçasından devamlı benzer parçaları oluşur.Normal örüntülerde ise benzer parçalar vardır fakat bu parçalar birbirinden oluşmaz. Bir şeklin fraktal olup olmadığını anlamamızı sağlayan en önemli nokta budur.
Fraktalların içinde veya üzerinde oluşturulan şekiller birbirinin küçültülmüş veya büyütülmüş şekilleridir.

Genellikle küçülme ve büyüme yoluyla oluşturulurlar.…Fraktallara en çok verilen örnek eğrelti otudur.Eğrelti otunun her yaprağının üzerinde yine küçük küçük yapraklar vardır.

Popüler Yayınlar

Sosyal Paylaşım

Icon Icon Icon Icon

Lütfen yazılarımızla ilgili yorum yapmaktan çekinmeyin. Kırık linkleri ve hatalı içerikleri mutlaka bize ilgili sayfa altında yorum yaparak bildiriniz. Blog sayfalarımızda ilginizi çekebilecek diğer yazılar için blog arşivimizi kullanabilirsiniz.

Son Yorumlar

Yararlı Linkler